Распределение ресурса (Задание 17)
Задание 17 - первая задача второй части: прикладную модель надо не просто посчитать, а исследовать, и результат вернуть в терминах условия. Сюжет темы всегда один. Есть запас - деньги, рабочие, тонны удобрения, детали заказа, - и два объекта, между которыми он делится; отдача каждого задана формулой. Спрашивают, как поделить запас, чтобы суммарная отдача была наибольшей (или суммарные затраты - наименьшими).
Модель: две отдачи и одна связь
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Задача о распределении ресурса
Дан запас R и два объекта: первый получил x единиц ресурса и даёт отдачу f(x), второй получил y единиц и даёт g(y). Ресурс расходуется полностью:
x+y=R,x⩾0,y⩾0Нужно найти наибольшее (или наименьшее) значение суммы f(x)+g(y) и указать, при каком распределении оно достигается.
Переменных две, но связаны они линейно, поэтому одна лишняя: из x+y=R следует y=R−x. Подстановка превращает задачу в исследование функции ОДНОЙ переменной.
ВАЖНОЕ
Сведение к одной переменной
S(x)=f(x)+g(R−x),0⩽x⩽RОтрезок [0;R] - не формальность: ни x, ни y=R−x не бывают отрицательными, откуда x⩽R. Все выводы делаются только на нём.
iЗАМЕЧАНИЕ
Отрезок бывает короче
Условие иногда добавляет ограничение: цех не выпускает больше 40 изделий, на участке помещается не больше 8 человек. Тогда допустимые x - пересечение [0;R] с этим условием, и границы сдвигаются. Область выписывают ДО дифференцирования: иначе легко «найти» максимум там, где такого распределения не существует.
Алгоритм
АЛГОРИТМ
Как решать задачу на распределение ресурса
1. Введи переменную. Пусть первому объекту досталось x единиц ресурса.
2. Вырази второй. Второму досталось R−x - это и есть связь.
3. Составь суммарную функцию. S(x)=f(x)+g(R−x); раскрой скобки, приведи подобные.
4. Выпиши область. 0⩽x⩽R плюс ограничения условия.
5. Найди критические точки. Реши S′(x)=0, проверь, попал ли корень в отрезок.
6. Обоснуй экстремум. Знак S′(x) слева и справа от корня: «плюс - минус» даёт максимум, «минус - плюс» - минимум. Знак не меняется - функция монотонна, экстремум на конце отрезка.
7. Посчитай и истолкуй. Вычисли S, найди y=R−x и запиши ответ словами условия: сколько ресурса первому, сколько второму, чему равен итог.
iЗАМЕЧАНИЕ
За что ставят второй балл
Задание 17 стоит два балла, и второй - за исследование. Корень производной сам по себе ничего не доказывает: нужно показать, что это максимум, проверить принадлежность отрезку и вернуть ответ в терминах задачи. Голое число без обоснования - один балл.
Максимум внутри отрезка и на его краю
Критическая точка не обязана попасть в допустимые значения. Три случая различает одна проверка - сравнение корня с концами отрезка.
Правило равной предельной отдачи
Ответ виден и до производной. Представь, что раздаёшь ресурс по единице и каждую отдаёшь туда, где прибавка больше. Пока первый объект отвечает на добавку сильнее второго, ресурс идёт к нему; сравнялись отдачи - перекладывать незачем.
Примеры решения
ПРИМЕР 1
Рабочие на двух участках
Условие:
Бригаду из 20 рабочих распределяют между двумя участками сборки. Если на первом работают x человек, за смену они собирают 40x−x2 изделий; если на втором работают y человек - 24y−y2 изделий. Все рабочие заняты. Какое наибольшее число изделий бригада соберёт за смену?
ПРИМЕР 2
Деньги между двумя линиями
Условие:
Завод выделил 45 млн рублей на модернизацию двух линий и расходует их полностью. Вложение x млн в первую линию поднимает её годовой выпуск на 4x тысяч деталей, вложение y млн во вторую - на 2y тысяч деталей. Какова наибольшая суммарная прибавка выпуска?
ПРИМЕР 3
Корень за пределами отрезка
Условие:
Бригаду из 10 рабочих распределяют между двумя участками. На первом x человек собирают 34x−x2 изделий, на втором y человек - 12y−y2 изделий. Все рабочие заняты. Каков наибольший выпуск за смену?
ПРИМЕР 4
Заказ между двумя цехами
Условие:
Предприятие получило заказ на 70 деталей и распределяет его между двумя цехами. Затраты первого цеха на x деталей равны 0,5x2+10x+500 тысяч рублей, затраты второго на y деталей - 0,5y2+20y+300 тысяч рублей. Весь заказ выполняется. Каковы наименьшие суммарные затраты?
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Каждая функция исследована отдельно
Ошибка: приравнять к нулю обе производные порознь: f′(x)=40−2x=0 даёт x=20, а g′(y)=24−2y=0 даёт y=12.
Правильно: так найден максимум каждого участка САМ ПО СЕБЕ, а рабочих для этого нужно 20+12=32 при бригаде в 20. Ресурс общий, поэтому исследуется одна функция S(x), а не две независимые.
✗НЕВЕРНО
Ответ за пределами отрезка
Условие примера 3: бригада из 10 человек.
Неверное решение: S′(x)=42−4x=0, значит x=10,5 - на первый участок 10,5 рабочего, на второй −0,5.
Что не так: отрицательное число рабочих - верный признак того, что корень вышел за отрезок. Проверка x∈[0;10] обязана стоять сразу после уравнения S′(x)=0.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Корень найден, характер точки не показан
Ошибка: написать «S′(x)=0 при x=14, значит наибольшее значение равно 472» - и остановиться.
Правильно: равенство нулю производной не отличает максимум от минимума и от перегиба. Нужна одна строка: знаки S′ по обе стороны от корня либо ссылка на ветви параболы −2x2+56x+80. Без неё решение теряет балл, даже если число верное.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Дробная вершина в задаче про людей
Ошибка: вершина параболы попала между целыми - округлить «как удобнее».
Правильно: если ресурс дискретен (рабочие, изделия, билеты), проверяй ОБА соседних целых. Бригада из 25 человек, отдачи 36x−x2 и 20y−y2 дают S(x)=−2x2+66x−125 с вершиной x=16,5. Считаем оба: S(16)=320+99=419 и S(17)=323+96=419 - совпали, парабола симметрична относительно вершины. Достижимый максимум равен 419, а не S(16,5)=419,5: такого распределения не существует.
КОРОТКО
Что запомнить
- Условие x+y=R убирает одну переменную: y=R−x, и остаётся исследование S(x) на отрезке [0;R].
- Область выписывается ДО производной; ограничения условия укорачивают отрезок.
- Корень S′(x)=0 годится, только если попал в отрезок; иначе функция монотонна и ответ на конце.
- Характер точки обязан быть обоснован: знаки S′ или ветви параболы.
- В оптимуме предельные отдачи равны: f′(x)=g′(R−x).
- Ответ возвращается в терминах задачи: сколько ресурса каждому и чему равен итог.
✓СОВЕТ
Стратегия
- Тайминг: 20 минут. Задача из самых предсказуемых во второй части: модель одна и та же, меняются только формулы отдачи.
- Сначала связь, потом производная. Пока не записано y=R−x, дифференцировать нечего.
- Раскрывай скобки до конца. После приведения подобных обычно остаётся квадратный трёхчлен: производная берётся в уме, а вершина служит проверкой.
- Проверяй по исходным формулам. Подставь найденные x и y в f и g порознь и сложи: сумма обязана совпасть с S(x). Ошибку в скобках это ловит за двадцать секунд.
- Пиши интерпретацию отдельной строкой. «36 млн в первую линию, 9 млн во вторую, прибавка 30 тысяч деталей» - это и есть второй балл.
Проверь себя0 из 4
1.Ресурс R делится между двумя объектами, первому досталось x. Чему равна суммарная отдача?
2.Каков отрезок допустимых значений x, если других ограничений нет?
3.S′(x)=0 при x=12,5, а по условию 0⩽x⩽10. Что делать?
4.Какое равенство выполняется в точке наибольшей суммарной отдачи?