Проценты и доли в реальных ситуациях — ЕГЭ профиль

Проценты и доли в реальных ситуациях (Задание 13)

Задание 13 - короткая задача на моделирование реальной ситуации, и чаще всего ситуация денежная: зарплата и налог, цена и скидка, семейный бюджет, тариф и счёт за электричество. В бланк уходит одно число, развёрнутое решение не пишется, времени по спецификации - 10 минут. Поэтому здесь ценится не длинная выкладка, а умение за один-два шага перевести слова условия в множители и перемножить их.

iЗАМЕЧАНИЕ

Главный вопрос любой задачи на проценты

«Процент от чего?» Одно и то же « $40%$ » в двух соседних предложениях условия может считаться от разных чисел: сначала от дохода, потом от остатка. Пока не назван целый объект, к которому относится процент, задача не начата - и все дальнейшие вычисления будут аккуратной арифметикой по неверной модели.

Процент как множитель

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Процент и доля

$1% = \frac{1}{100}$ - это сотая доля целого. Отсюда основная связка:

p % от числа A = A \cdot \frac{p}{100}

Доля - то же самое без деления на сто: доля $0, 4$ и $40%$ - одна и та же величина в разных записях. В решении удобнее доли: они сразу готовы к умножению.

Считать «сколько процентов», а потом отдельно прибавлять или вычитать - долго и опасно. Быстрее сразу перевести изменение в множитель и забыть про знак процента до самого ответа.

ВАЖНОЕ

Изменение величины на p процентов

Увеличение на $p % :$

A ⟶ A \cdot (1 + \frac{p}{100})

Уменьшение на $p % :$

A ⟶ A \cdot (1 - \frac{p}{100})

Число в скобках - множитель $k .$ Всё изменение целиком сидит в нём: $k > 1$ - величина выросла, $k < 1$ - уменьшилась, $k = 1$ - осталась прежней.

Процент из условия переводится в множитель

Несколько изменений подряд: множители перемножаются

Если величина меняется два раза, второй процент берётся уже от нового числа, а не от исходного. На языке множителей это одна строчка.

ВАЖНОЕ

Цепочка последовательных изменений

A_{итог} = A \cdot k_{1} \cdot k_{2} \cdot \dots \cdot k_{n}

Итоговый множитель $k = k_{1} k_{2} \dots k_{n}$ отвечает на вопрос «как изменилась величина в целом».

На сколько процентов изменилась величина

Вопрос «на сколько процентов» - это всегда отношение к исходному, а не разность в рублях.

ВАЖНОЕ

Процент изменения

p = \frac{B - A}{A} \cdot 100%

Через множитель проще: если $B = A \cdot k,$ то

p = (k - 1) \cdot 100%

Например, цена за два года выросла сначала на $10%,$ потом на $20% .$ Итоговый множитель $1, 1 \cdot 1, 2 = 1, 32,$ значит рост составил $32%,$ а не $30% .$

Доли от целого и доли от остатка

Самая частая ловушка слота: в условии подряд идут два процента, и целое между ними меняется. Формулировки-маркеры - «от суммы, оставшейся после…», «остальное», «оставшуюся часть».

Второй процент берётся от остатка, а не от дохода

« $30%$ дохода на аренду» - процент от дохода.
« $40%$ от остатка на еду» - процент от того, что осталось, то есть от $70%$ дохода.
«остальное вложила в облигации» - это тоже доля, равная $1$ минус все названные доли.

✓СОВЕТ

Свернуть цепочку в один множитель

Не считай промежуточные рубли, если они не нужны в ответе. «Потратили $30%,$ потом $40%$ остатка» - это $\cdot 0, 7,$ затем $\cdot 0, 6,$ то есть один множитель $0, 42 .$ Меньше действий - меньше шансов ошибиться в арифметике.

Обратный ход: величина «до» по величине «после»

Если известен результат, а спрашивают исходное число, множитель работает в обратную сторону - делением.

ВАЖНОЕ

Восстановление исходной величины

Если $B = A \cdot k,$ то

A = \frac{B}{k}

Вперёд умножаем, назад делим на тот же множитель

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Назад тот же процент не прибавляют

Вернуться от «после» к «до», прибавив тот же процент, нельзя: процент считается от разных чисел. После скидки $20%$ цена $4800;$ наценка $20%$ даст $5760,$ а исходная цена была $6000 .$

Когда меняются оба сомножителя

Счёт за электричество - это тариф, умноженный на объём. Зарплатный фонд - ставка, умноженная на число сотрудников. Если меняются оба сомножителя, итоговый множитель - произведение их множителей.

Множители перемножаются и у разных величин

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 13 на проценты

1. Назови целое. Выпиши число, которое в этом предложении принято за $100% .$ Отдельно проверь, не сменилось ли целое в следующем предложении условия.
2. Переведи каждый процент в множитель. «На $p %$ больше» - это $1 + \frac{p}{100},$ «на $p %$ меньше» - это $1 - \frac{p}{100},$ «составляет $p %$ от» - это просто $\frac{p}{100} .$
3. Определи сборку. Изменения идут подряд - множители перемножаются. Сумма делится на части с разными ставками - считай части отдельно и складывай. Известен результат, а нужно исходное - дели.
4. Посчитай одним выражением. Числа в задании 13 подобраны так, чтобы результат был точным: целое число или конечная десятичная дробь.
5. Проверь обратным ходом. Подставь найденное число в условие и пройди задачу вперёд - должно получиться данное значение.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Налог: найти начисленное по полученному

Условие:
С заработной платы удерживается налог на доходы физических лиц по ставке $13% .$ На банковский счёт сотруднику поступило $69600$ рублей. Какова его заработная плата до удержания налога?

ПРИМЕР 2

Наценка и скидка подряд

Условие:
Куртка стоила $12000$ рублей. В октябре цену подняли на $15%,$ а в феврале снизили на $20%$ от новой цены. Сколько рублей стала стоить куртка после двух изменений?

ПРИМЕР 3

Доля от остатка

Условие:
Ежемесячный доход семьи составляет $120000$ рублей. На жильё и коммунальные платежи уходит $35%$ дохода, а на питание - $40%$ от суммы, оставшейся после оплаты жилья. Сколько рублей остаётся у семьи после этих двух статей расходов?

ПРИМЕР 4

Тариф и расход меняются одновременно

Условие:
В прошлом году семья расходовала $300$ кВт·ч электроэнергии в месяц по тарифу $5$ рублей за кВт·ч. В этом году тариф вырос на $8%,$ но семья снизила потребление до $250$ кВт·ч в месяц. На сколько рублей уменьшился ежемесячный счёт за электроэнергию?

ПРИМЕР 5

Сумма разделена на части с разными ставками

Условие:
Мария распределила $200000$ рублей: $60%$ суммы вложила в акции, а остальное - в облигации. За год акции подорожали на $25%,$ а облигации принесли $10%$ дохода. Сколько рублей стоят вложения Марии через год?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Проценты сложили вместо перемножения

Ошибка: «Подняли на $15%,$ снизили на $20%$ - итого минус $5%$ », ответ $11400 .$
Правильно: второй процент берётся от уже изменённой величины. Считать надо множителями: $1, 15 \cdot 0, 8 = 0, 92,$ то есть минус $8%$ и ответ $11040 .$ Складывать проценты можно только тогда, когда оба берутся от одного и того же целого.

✗НЕВЕРНО

Процент взят не от того целого

Ошибка: в условии « $40%$ от суммы, оставшейся после оплаты жилья» посчитать $40%$ от всего дохода: $120000 \cdot 0, 4 = 48000$ вместо $31200 .$
Правильно: подчеркни в условии слова «от остатка», «оставшейся», «остальное». Каждое из них означает смену целого: новым $100%$ становится остаток.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Обратную задачу решили прибавлением

Ошибка: «Пришло $69600$ после удержания $13%,$ значит начислено $69600 \cdot 1, 13 = 78648$ ».
Правильно: обратный ход - это деление на тот же множитель: $69600 : 0, 87 = 80000 .$ Признак ошибки виден сразу: ответ обязан быть круглым, а $78648$ на круглое число не похоже.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ дан в процентах вместо рублей или наоборот

Ошибка: посчитать итоговый множитель $0, 92$ и записать в бланк $8$ (процентов), когда спрашивали цену в рублях.
Правильно: перечитай последнюю строку условия. «Сколько рублей стала стоить», «на сколько рублей уменьшился», «на сколько процентов выросла» - три разных ответа для одной и той же выкладки.

Что запомнить

КОРОТКО

Что запомнить

Процент - это множитель: $+ p % \to (1 + \frac{p}{100}),$ $- p % \to (1 - \frac{p}{100}) .$
Изменения подряд - множители перемножаются: $A \cdot k_{1} \cdot k_{2} .$ Проценты не складываются.
«На сколько процентов» - это $(k - 1) \cdot 100%,$ а не разность в рублях.
«От остатка», «оставшейся», «остальное» - сигнал, что целое сменилось.
Обратный ход - деление на множитель, а не прибавление того же процента.
Если величина составная (тариф $\times$ объём), итоговый множитель - произведение множителей сомножителей.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 4-6 минут. По спецификации на задание отведено $10$ минут, но проценты - самый быстрый из финансовых сюжетов слота.
Черновик: выписывай столбиком не рубли, а множители. Строка вида « $0, 65 \cdot 0, 6$ » короче, чем два промежуточных вычитания, и в ней негде потерять ноль.
Контроль ответа: числа в задании 13 подобраны под точный результат. Получилось $46799, 9$ - ищи ошибку, а не округляй.
Быстрая проверка: подставь найденное число обратно в условие. В примере 1 это одно действие: $80000 \cdot 0, 87 = 69600 .$
Что писать в бланк: только число, без слова «рублей» и без знака процента.

Проверь себя0 из 4

1.Цена выросла на

25%,

а затем упала на

20% .

Как в итоге изменилась цена?

2.После скидки

20%

товар стоит

6000

рублей. Сколько он стоил до скидки?

3.Доход

50000

рублей.

20%

уходит на транспорт, затем

25%

от остатка - на связь. Сколько рублей остаётся?

4.На счёт после удержания налога

13%

поступило

43500

рублей. Сколько было начислено?