Призма — ЕГЭ профиль

Призма (Задание 3)

В задании 3 призма - один из главных «кирпичиков» стереометрии. Отдельных задач по ней в банке не так много, но формулы призмы и прямоугольного параллелепипеда нужны ещё и в комбинированных задачах: шар в призме, составной многогранник, отсечение части призмы плоскостью.

Хорошая новость: вся теория сводится к двум базовым формулам (объём и боковая поверхность) плюс умение находить площадь основания и, для параллелепипеда и куба, - длину диагонали.

Что такое призма

Призма - это многогранник, у которого два основания лежат в параллельных плоскостях и равны друг другу, а боковые грани являются параллелограммами. В школьном курсе почти всегда работают с прямой призмой: её боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а значит, боковые грани - прямоугольники.

iЗАМЕЧАНИЕ

Правильная призма

Призма называется правильной, если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник). У правильной призмы все боковые грани - равные прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед - частный случай прямой призмы: основание - прямоугольник со сторонами $a$ и $b,$ высота $c .$ Куб - ещё более частный: $a = b = c .$

Основные формулы

Эти формулы - главный рабочий инструмент для любой задачи о призме.

ВАЖНОЕ

Объём призмы

V = S_{осн} \cdot h

$S_{осн}$ - площадь основания, $h$ - высота (для прямой призмы $h$ совпадает с длиной бокового ребра).

ВАЖНОЕ

Площадь боковой поверхности прямой призмы

S_{бок} = P_{осн} \cdot h

$P_{осн}$ - периметр основания. Полная поверхность считается как $S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн}$ (боковая плюс два основания).

Чтобы применять эти формулы, нужно быстро считать площадь основания. Чаще всего попадаются три типа:

ВАЖНОЕ

Площадь основания правильных призм

Равносторонний треугольник со стороной $a :$ $S = \frac{a ^{2} 3}{4}$

Квадрат со стороной $a :$ $S = a^{2}$

Правильный шестиугольник со стороной $a :$ $S = \frac{3 a ^{2} 3}{2}$

Диагонали параллелепипеда и куба

Прямоугольный параллелепипед встречается в задании 3 регулярно - как отдельно, так и внутри задач на комбинированные тела. Особенно часто спрашивают его диагональ: отрезок, соединяющий две противоположные вершины и проходящий через всё тело.

ВАЖНОЕ

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

d = a^{2} + b^{2} + c^{2}

Формула получается двукратным применением теоремы Пифагора: сначала для диагонали основания ( $a^{2} + b^{2}$ ), затем - для треугольника, где катеты - диагональ основания и боковое ребро $c .$

ВАЖНОЕ

Диагональ куба со стороной

a

d = a 3

Частный случай предыдущей формулы при $a = b = c :$ $a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3 a^{2} = a 3 .$

Классический сюжет: отсечение по средней линии

Ещё один сюжет встречается в банке задач регулярно: через среднюю линию основания треугольной призмы проводят плоскость, параллельную боковому ребру. От исходной призмы отсекается маленькая треугольная призма с той же высотой $h .$

Отсечение треугольной призмы по средней линии

Что происходит при таком разрезе:

стороны маленького треугольника $A M N$ ровно в $2$ раза короче соответствующих сторон $△ A B C$ (коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$ );
периметр $P_{мал} = \frac{1}{2} P_{бол},$ значит, боковая поверхность делится на $2;$
площадь $S_{мал} = (\frac{1}{2})^{2} S_{бол} = \frac{1}{4} S_{бол},$ значит, объём делится на $4 .$

ВАЖНОЕ

Отсечённая по средней линии призма

S_{бок . отсеч} = \frac{1}{2} S_{бок . исх}, V_{отсеч} = \frac{1}{4} V_{исх}

✓СОВЕТ

Как не путать 2 и 4

Периметр - линейная величина (первая степень), поэтому коэффициент $2 .$ Площадь - квадратичная, поэтому коэффициент $4 .$ Слово «объём» всегда тянет за собой четвёрку, слово «боковая поверхность» - двойку.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подходить к задаче на призму

1. Пойми тип призмы. Прямая, правильная, параллелепипед, куб? От этого зависит, какую площадь основания считать и какими формулами пользоваться.
2. Определи, что спрашивают: $V,$ $S_{бок},$ $S_{полн},$ диагональ? Запиши подходящую формулу целиком, прежде чем подставлять числа.
3. Найди площадь или периметр основания. Для правильного треугольника $S = \frac{a ^{2} 3}{4},$ для квадрата $S = a^{2},$ для правильного шестиугольника $S = \frac{3 a ^{2} 3}{2} .$ Периметр - сумма сторон.
4. Если задача на диагональ параллелепипеда - применяй $d = a^{2} + b^{2} + c^{2},$ для куба $d = a 3 .$
5. Если сюжет про среднюю линию - работай коэффициентами: объём делится на $4,$ боковая поверхность - на $2 .$
6. Проверь ответ. В первой части ЕГЭ получится целое число или конечная десятичная дробь. Все $\cdot$ и $π$ должны сократиться.

Примеры решения

Разберём три задачи, покрывающие основные сюжеты темы: диагональ, правильная призма и отсечение по средней линии.

ПРИМЕР 1

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Условие:
Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $2,$ $3$ и $6 .$ Найди диагональ параллелепипеда.

Решение:

1. Применяй формулу диагонали прямоугольного параллелепипеда:

d = a^{2} + b^{2} + c^{2}

2. Подставляй $a = 2,$ $b = 3,$ $c = 6 :$

d = 2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 4 + 9 + 36 = 49 = 7

Ответ: $7$

ПРИМЕР 2

Правильная шестиугольная призма

Условие:
В правильной шестиугольной призме сторона основания равна $2,$ а высота равна $5 .$ Найди площадь боковой поверхности призмы.

ПРИМЕР 3

Отсечение по средней линии

Условие:
Объём треугольной призмы равен $120 .$ Через среднюю линию основания этой призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найди объём оставшейся части призмы.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытая площадь основания

Ошибка: Считать объём прямоугольной призмы по формуле $V = a \cdot h,$ где $a$ - одна из сторон основания, а не его площадь.
Правильно: Объём - это площадь основания, умноженная на высоту. Для квадратного основания $V = a^{2} h,$ для правильного треугольника $V = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot h,$ для шестиугольника $V = \frac{3 a ^{2} 3}{2} \cdot h .$ Всегда сначала отдельно посчитай площадь основания.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница 2 и 4 в задачах со средней линией

Ошибка: Запомнить, что плоскость «режет пополам», и поделить и объём, и боковую поверхность на $2 .$
Правильно: Пополам делятся только стороны основания. Периметр тоже в $2$ раза меньше (поэтому боковая поверхность делится на $2$ ). А вот площадь основания падает в $2^{2} = 4$ раза - вместе с ней и объём.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Полная и боковая поверхность

Ошибка: В ответе записывать $S_{бок},$ когда спрашивают $S_{полн}$ (или наоборот).
Правильно: Полная поверхность призмы включает боковую и оба основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} .$ Всегда подчёркивай в условии слово «полная» или «боковая», прежде чем писать формулу.

Что запомнить

Объём любой призмы: $V = S_{осн} \cdot h .$ Боковая поверхность прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h .$
Площади оснований: правильный треугольник - $\frac{a ^{2} 3}{4},$ квадрат - $a^{2},$ правильный шестиугольник - $\frac{3 a ^{2} 3}{2} .$
Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} .$ Диагональ куба: $d = a 3 .$
Средняя линия основания треугольной призмы: объём делится на $4,$ боковая поверхность - на $2 .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 2-3 минуты. Это одна из самых быстрых задач первой части.
Сделай чертёж. Даже если в задаче он вроде бы не нужен - подпиши на рисунке все данные и спрашиваемую величину, это снимает половину ошибок.
Разбей на шаги. Сначала - площадь или периметр основания отдельным вычислением. Потом - подстановка в формулу объёма или боковой поверхности. Так легче найти ошибку.
Сверь размерность. Если в условии призма маленькая (рёбра 2-10), а у тебя объём получился больше $10000$ или меньше $1$ - почти наверняка ошибка в площади основания.
Диагональ - в одну строку. Для параллелепипеда достаточно написать $d = a^{2} + b^{2} + c^{2},$ подставить три числа и извлечь корень. Если корень не извлекается нацело - перепроверь числа.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами

a,

b,

c ?

2.Площадь боковой поверхности прямой призмы равна

3.Через среднюю линию основания треугольной призмы провели плоскость параллельно боковому ребру. Во сколько раз объём отсечённой призмы меньше объёма исходной?

4.Чему равна диагональ куба с ребром

a ?