Суть темы
Задание 9 проверяет понимание того, как производная связана с поведением самой функции. Это одно из самых быстрых заданий первой части - если чётко понимать правила игры.
Главная сложность темы - психологическая. Чаще всего в условии дан график производной y=f′(x), а вопрос задают про саму функцию f(x). Реже - наоборот: дан график f(x), спрашивают про f′. В обоих случаях визуальные «холмы» и «впадины» рисунка сами по себе ничего не значат: всё решает знак производной.
Ключевые правила и факты
Всё решение строится на анализе знака производной, а не её величины. Смотри только на то, где график производной находится относительно оси X.
ВАЖНОЕ
Связь монотонности и знака производной
- Если f′(x)>0 (график производной выше оси X), то функция f(x) возрастает.
- Если f′(x)<0 (график производной ниже оси X), то функция f(x) убывает.
Точки максимума и минимума (экстремумы) - это моменты, когда функция меняет направление движения. На языке производной это означает смену знака.
ВАЖНОЕ
Точки экстремума функции
В точках экстремума производная равна нулю: f′(x)=0 (график производной пересекает ось X).
- Точка максимума: f′(x) меняет знак с + на − (график пересекает ось X сверху вниз).
- Точка минимума: f′(x) меняет знак с − на + (график пересекает ось X снизу вверх).
Обратное направление работает зеркально. Если тебе дан график самой функции f(x) и спрашивают про производную, читай рисунок так: где f растёт - там f′>0, где падает - там f′<0, где у f вершина холма или дно впадины (гладкий экстремум) - там f′=0.
iЗАМЕЧАНИЕ
Короткая таблица перевода
| Рисунок для f(x) | Что это значит для f′(x) |
|---|---|
| график идёт вверх | f′(x)>0 |
| график идёт вниз | f′(x)<0 |
| вершина или впадина | f′(x)=0 |
| горизонтальный участок | f′(x)=0 на всём участке |
Отдельный приём - числовая ось со знаками производной. На ЕГЭ её обычно достаточно представить мысленно, но если в условии много экстремумов, удобно быстро нарисовать на черновике.
Алгоритм решения
Внимательность к формулировке спасает баллы в этом задании.
АЛГОРИТМ
Алгоритм работы с графиком
1. Прочитай первое предложение условия. Подчеркни, график чего именно дан: y=f(x) или y=f′(x). От этого зависят все дальнейшие действия.
2. Переведи вопрос в нужную плоскость. Если дан график f′(x), а спрашивают про f(x): «возрастание» - это «f′ выше оси X», «точка максимума» - это «f′ пересекает ось X сверху вниз». Если дан график f(x), а спрашивают про f′(x): «f′(x)>0» - это «f идёт вверх», «f′(x)=0» - это «у f вершина или впадина».
3. Ограничь рабочую зону. В условии почти всегда дан отрезок вида [a;b]. Проведи две вертикальные линии на чертеже (или мысленно), чтобы не посчитать точки за его пределами.
4. Найди ответ по графику внутри выделенной зоны и запиши.
Примеры решения
Ниже - три прототипа по графику f′(x) (они чаще всего встречаются на ЕГЭ) и один пример обратного направления: по графику f(x) о свойствах f′.
ПРИМЕР 1
Точки на промежутках монотонности
Условие:
На рисунке изображён график y=f′(x) - производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено семь точек: x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?
ПРИМЕР 2
Поиск точек экстремума на отрезке
Условие:
На рисунке изображён график y=f′(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (−8;11). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−5;8].
В следующем примере нужно определить не количество точек, а конкретное значение x. Это требует понимания поведения функции на краях отрезка.
ПРИМЕР 3
Наименьшее значение функции на отрезке
Условие:
На рисунке изображён график y=f′(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (−5;7). В какой точке отрезка [−2;4] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Отдельно разберём обратное направление: график самой функции и вопрос про производную.
ПРИМЕР 4
По графику f(x) о производной
Условие:
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−6;8). На оси абсцисс отмечены точки −4, −2, 0, 1, 3, 5, 7. В скольких из этих точек производная f′(x) положительна?
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Путаница между f(x) и f′(x)
Ошибка: Искать «визуальные» максимумы (верхушки холмов) на графике производной, когда просят найти точки экстремума функции.
Правильно: Верхушка холма на графике f′(x) - это место, где скорость изменения функции максимальна, а не экстремум самой функции. Точка экстремума функции - это пересечение графика производной с осью X.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Невнимательность к границам отрезка
Ошибка: Посчитать все корни f′(x)=0 на рисунке и записать ответ, проигнорировав, что в условии задан конкретный отрезок [a;b].
Правильно: Прежде чем считать точки, визуально отсеки лишние края графика по заданным в условии числам.
Что запомнить
Держи в голове этот краткий словарь перевода с языка функции на язык производной:
- Функция растёт ⟺ График f′(x) выше нуля.
- Функция падает ⟺ График f′(x) ниже нуля.
- Максимум функции ⟺ График f′(x) пробивает ось X сверху вниз.
- Минимум функции ⟺ График f′(x) пробивает ось X снизу вверх.
- Наибольшее/наименьшее значение ⟺ Анализируем рост/падение на всём отрезке.
Стратегия на экзамене
✓СОВЕТ
Стратегия выполнения
- Тайминг: 3-5 минут. Задание решается практически устно, без сложных вычислений.
- Приоритет: Решай на первом же проходе варианта. Это лёгкий балл.
- Проверка: Внимательно перечитай первое предложение: «На рисунке изображён график...» Каждое слово здесь на вес золота. Если график функции - работают одни правила, если производной - другие. Обязательно проверь, попали ли найденные точки в заданный отрезок.
- Подсказка: Прямо в КИМе нарисуй две жирные вертикальные черты, ограничивающие заданный отрезок. Заштрихуй всё, что снаружи, чтобы глаза туда не смотрели.
Проверь себя0 из 4
1.Дан график производной y=f′(x). Где функция f(x) возрастает?
2.График f′(x) пересекает ось X сверху вниз в точке x0. Что это за точка для функции f(x)?
3.Производная f′(x) отрицательна на всём отрезке [a;b]. Где функция f(x) принимает наименьшее значение на этом отрезке?
4.Дан график самой функции y=f(x). В каких точках f′(x)>0?