Задание 9: Производная и первообразная — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 9 открывает блок математического анализа в первой части ЕГЭ. Оно проверяет твоё умение «читать» графики. Никаких сложных вычислений здесь нет - нужно лишь понимать, как связаны функция и её производная, а также знать геометрический смысл производной.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ задачи этого номера делятся на три группы:

1. Геометрический смысл производной - дан график функции и касательная, нужно найти значение производной в точке.
2. Исследование функций по графику - дан график производной (реже - самой функции), нужно найти точки экстремума, промежутки возрастания или убывания.
3. Первообразная и площадь фигуры - дан график первообразной $F (x),$ нужно определить свойства функции $f (x)$ или найти площадь фигуры по формуле Ньютона - Лейбница.
4. Физический смысл производной - дана формула зависимости величины от времени, нужно найти скорость изменения (производную) в конкретный момент.

Ключевые факты и формулы

Главное правило задания 9: производная показывает скорость изменения функции.

ВАЖНОЕ

Геометрический смысл производной

Значение производной функции $y = f (x)$ в точке $x_{0}$ равно угловому коэффициенту касательной $k$ и тангенсу угла наклона $α$ этой касательной к положительному направлению оси $X :$

f^{'} (x_{0}) = k = t g α = \frac{Δ y}{Δ x}

Двигай t: точка касания идёт по параболе y = x², а наклон касательной меняется как 2t.

Вторая группа задач требует твёрдого знания связи между функцией и её производной. Запомни эту шпаргалку:

ВАЖНОЕ

Связь функции и производной

Если $f^{'} (x) > 0$ (график производной выше оси $X$ ), то функция $f (x)$ возрастает.
Если $f^{'} (x) < 0$ (график производной ниже оси $X$ ), то функция $f (x)$ убывает.
Если $f^{'} (x) = 0$ и меняет знак (график производной пересекает ось $X$ ), то у функции $f (x)$ точка экстремума (максимум или минимум).

ВАЖНОЕ

Физический смысл производной

Если величина $s$ зависит от времени $t$ (например, путь, координата, температура), то её производная показывает мгновенную скорость изменения:

v (t) = s^{'} (t)

В частности, скорость - это производная координаты, а ускорение - производная скорости:

a (t) = v^{'} (t)

ВАЖНОЕ

Первообразная и площадь

Функция $F (x)$ называется первообразной функции $f (x),$ если $F^{'} (x) = f (x) .$

Связь графика первообразной и свойств функции - это зеркало связи функции и производной:

Если $F (x)$ возрастает на промежутке, то $f (x) > 0$ на этом промежутке.
Если $F (x)$ убывает на промежутке, то $f (x) < 0$ на этом промежутке.
Если $F (x)$ имеет точку экстремума в $x_{0},$ то $f (x_{0}) = 0 .$

Площадь криволинейной трапеции (фигуры между графиком $f (x)$ и осью $X$ ) вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

S = \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 9

1. Посмотри на подпись к графику. Это самый важный шаг. Что перед тобой: $y = f (x),$ $y = f^{'} (x)$ или $y = F (x) ?$ От этого зависит весь ход решения.
2. Прочитай вопрос. Узнай, что именно нужно найти (значение производной, количество точек, длину промежутка, площадь фигуры).
3. Для геометрического смысла: найди на касательной две точки с целыми координатами (обычно они уже выделены жирными точками), дострой до прямоугольного треугольника и подели вертикальный катет на горизонтальный.
4. Для анализа свойств: если дан график $f^{'} (x),$ переведи вопрос на язык производной. Например, «где функция возрастает?» означает «где график $f^{'} (x)$ лежит выше оси $X ?$ ».
5. Для первообразной: если дан график $F (x),$ помни, что $F^{'} (x) = f (x) .$ Нули $f (x)$ - это точки экстремума $F (x),$ знак $f (x)$ определяется направлением $F (x) .$
6. Для физического смысла: возьми производную данной формулы и подставь нужный момент времени.
7. Проверь знак. Если касательная идёт вниз (функция убывает), производная обязательно отрицательная.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Геометрический смысл

Условие:
На рисунке изображены график функции $y = f (x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0} .$ Найдите значение производной функции $f (x)$ в точке $x_{0} .$

ПРИМЕР 2

Чтение графика производной

Условие:
На рисунке изображён график $y = f^{'} (x)$ - производной функции $f (x) .$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}, x_{8} .$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f (x) ?$

ПРИМЕР 3

Чтение графика первообразной

Условие:
На рисунке изображён график $y = F (x)$ - одной из первообразных функции $f (x),$ определённой на интервале $(- 5; 7) .$ Найдите количество решений уравнения $f (x) = 0$ на отрезке $[- 3; 5] .$

ПРИМЕР 4

Физический смысл производной

Условие:
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 5 t + 3,$ где $x$ - расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в м/с) в момент времени $t = 4$ с.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между

f (x)

f^{'} (x)

Ошибка: Искать точки максимума на графике производной по «горбам» графика.
Правильно: Всегда читай подпись к рисунку. Если дан график производной $f^{'} (x),$ то точки экстремума функции находятся на пересечении с осью $X$ . «Горбы» на графике $f^{'} (x)$ - это просто точки, где скорость роста/убывания максимальна, а не экстремумы самой функции.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между

F (x)

f (x)

Ошибка: Увидеть график $F (x)$ (первообразной) и искать нули функции там, где график пересекает ось $X .$
Правильно: Нули $f (x)$ - это точки, где $F^{'} (x) = 0,$ то есть точки экстремума графика $F (x)$ (где касательная горизонтальна). Пересечения с осью $X$ показывают, где $F (x) = 0,$ а не $f (x) = 0 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака «минус»

Ошибка: Построить треугольник, поделить клеточки и записать положительный ответ, когда касательная убывает.
Правильно: Длины сторон треугольника всегда положительны. Треугольник даёт тебе только числовой модуль тангенса. Знак нужно ставить самостоятельно. Касательная идёт вверх $⟹$ плюс. Касательная идёт вниз $⟹$ минус.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 9

Ориентировочное время: 3-5 минут.
Приоритет: Решай сразу. Это одно из самых быстрых заданий первой части, оно не требует долгих расчётов в столбик.
Проверка знака: Перед записью ответа в бланк задай себе один вопрос: «Прямая/график идёт вверх или вниз?». Это спасёт 90% потерянных баллов в этом номере.
Внимание на сетку: Если в задаче дан прямоугольный треугольник, обязательно проверяй, проходят ли узлы (вершины прямых углов) ровно по пересечениям клеточек. Не бери точки «на глаз».

Проверь себя0 из 4

1.Дан график производной

y = f^{'} (x) .

Где функция

f (x)

возрастает?

2.Касательная к графику функции идёт вниз (слева направо). Какой знак у

f^{'} (x_{0}) ?

3.Дан график первообразной

y = F (x) .

Где выполняется

f (x) = 0 ?

4.Точка движется по закону

x (t) = t^{2} - 4 t .

Чему равна её скорость при

t = 3 ?