Задание 9: Задачи с прикладным содержанием | теория Математика (профиль) ЕГЭ

О задании

Девятое задание проверяет умение работать с математическими моделями. В условии описывается физический, экономический или технический процесс, даётся формула и значения нескольких величин. Твоя задача - подставить числа в формулу и найти единственную неизвестную.

Номер в ЕГЭ: 9
Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь
Уровень сложности: Повышенный
Максимальный балл: 1

Какие темы встречаются

Формула в условии задаёт тип уравнения или неравенства, которое предстоит решить. На ЕГЭ встречаются задачи на следующие темы:

Разные задачи - сводятся к рациональным или линейным уравнениям (эффект Доплера, закон Ома, оптика).
Показательные - радиоактивный распад, охлаждение Ньютона.
Квадратные и степенные - равноускоренное движение, бросок под углом к горизонту, адиабатический процесс.
Логарифмические (редко) - уровень шума, звездная величина.

Общий алгоритм решения

Алгоритм решения задания 9

1. Выпиши формулу. Найди её в тексте и запиши на черновик.
2. Определи известные величины. Внимательно прочитай текст и выпиши значения всех букв. Обращай особое внимание на единицы измерения: если время в формуле измеряется в секундах, а в условии даны минуты - переведи их в секунды.
3. Составь уравнение или неравенство. Подставь все числа в формулу. Если в вопросе есть слова «не менее», «не более», «минимальный», надёжнее составить неравенство.
4. Реши математическую модель. Аккуратно выполни алгебраические преобразования.
5. Проанализируй ответ. Если корней несколько, перечитай условие, чтобы понять, какой из них подходит по смыслу задачи.

Примеры решения

Разберём две задачи с главными ловушками этого номера: работой с неравенствами и выбором правильного корня.

Пример 1. Квадратное уравнение и интервал времени

Высота над землёй подброшенного вверх камня меняется по закону $h (t) = 1, 6 + 11 t - 5 t^{2},$ где $h$ - высота в метрах, $t$ - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет находиться на высоте не менее $7, 6$ метров?

Показать решение

По условию высота $h (t)$ должна быть не менее $7, 6$ метров. Запишем это в виде неравенства:

1, 6 + 11 t - 5 t^{2} ⩾ 7, 6

Перенесём всё в левую часть и приведём подобные слагаемые:

- 5 t^{2} + 11 t + 1, 6 - 7, 6 ⩾ 0

- 5 t^{2} + 11 t - 6 ⩾ 0

Умножим обе части на $- 1,$ поменяв знак неравенства на противоположный:

5 t^{2} - 11 t + 6 ⩽ 0

Найдём корни квадратного уравнения $5 t^{2} - 11 t + 6 = 0 .$
Сумма коэффициентов равна нулю ( $5 - 11 + 6 = 0$ ), значит, первый корень $t_{1} = 1 .$
По теореме Виета произведение корней равно $\frac{6}{5},$ значит, $t_{2} = \frac{6}{5} = 1, 2 .$

Неравенство выполняется на отрезке между корнями: $t \in [1; 1, 2] .$
Это означает, что на высоте $7, 6$ метров камень окажется на первой секунде полёта (когда летит вверх), а упадёт ниже этой отметки на отметке $1, 2$ секунды (когда летит вниз).

Вопрос задачи: сколько секунд камень будет находиться на этой высоте?
Для ответа нужно найти длину найденного отрезка времени:

Δ t = 1, 2 - 1 = 0, 2

Ответ: $0, 2$

Работа с неравенствами в прикладных задачах

Если в условии есть слова-маркеры ограничения:

«не менее» $⟹ ⩾$
«не более» $⟹ ⩽$
«отличаются не менее чем на» $⟹ ∣ f - f_{0} ∣ ⩾ Δ f$

Всегда решай задачу именно через неравенство, а не через простое уравнение. Это убережёт от выбора неверного корня или неправильного знака в ответе.

Пример 2. Рациональное неравенство (эффект Доплера)

Локомотив издаёт гудок с частотой $f_{0} = 290$ Гц. Частота звука $f$ (в Гц), который слышит человек на платформе при приближении локомотива, вычисляется по формуле:

f = \frac{f _{0}}{1 - \frac{v}{c}}

где $v$ - скорость локомотива (в м/с), $c = 300$ м/с - скорость звука. Человек способен на слух отличить один сигнал от другого, если их частоты отличаются не менее чем на $10$ Гц. С какой минимальной скоростью должен приближаться локомотив, чтобы человек услышал изменение тона? Ответ дайте в м/с.

Показать решение

Изменение тона, которое слышит человек, - это разность между новой частотой $f$ и исходной $f_{0} .$ Так как локомотив приближается, частота звука увеличивается ( $f > f_{0}$ ).
По условию эта разница должна быть не менее $10$ Гц:

f - f_{0} ⩾ 10

Подставим известную формулу и значения: $f_{0} = 290,$ $c = 300 .$

\frac{290}{1 - \frac{v}{300}} - 290 ⩾ 10

Перенесём $290$ в правую часть:

\frac{290}{1 - \frac{v}{300}} ⩾ 300

Разделим обе части на $10,$ чтобы упростить числа:

\frac{29}{1 - \frac{v}{300}} ⩾ 30

Так как скорость локомотива $v$ явно меньше скорости звука ( $v < 300$ ), знаменатель дроби $1 - \frac{v}{300}$ положителен. Значит, мы можем умножить на него обе части неравенства, не меняя знак:

29 ⩾ 30 \cdot (1 - \frac{v}{300})

29 ⩾ 30 - \frac{30 v}{300}

Сократим дробь в правой части:

29 ⩾ 30 - \frac{v}{10}

Перенесём неизвестное влево, а числа вправо:

\frac{v}{10} ⩾ 30 - 29

\frac{v}{10} ⩾ 1

v ⩾ 10

Скорость должна быть больше или равна $10$ м/с. Минимальная подходящая скорость - $10$ м/с.

Ответ: $10$

Частые ошибки

Ловушка вопроса "Сколько времени?"

Ошибка: В задачах на движение брошенного тела (как в Примере 1) получить корни $t_{1} = 1$ и $t_{2} = 1, 2,$ и записать в ответ наибольший корень ( $1, 2$ ).
Правильно: Внимательно читай вопрос. Если спрашивают, на какой секунде тело упадёт - в ответ идёт наибольший корень. Если спрашивают, сколько времени оно находилось в воздухе - в ответ идёт разность корней.

Ошибка размерностей

Ошибка: Подставлять в формулу числа прямо из текста, не проверяя единицы измерения. Например, подставить время $t = 2$ минуты в формулу, где по физическому смыслу требуются секунды.
Правильно: Всегда сверяй единицы измерения величин в тексте с единицами измерения, указанными в описании формулы. При необходимости переводи километры в метры, а минуты в секунды до начала вычислений.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 9

Время выполнения: 5–10 минут.
Отношение к тексту: Текст задачи часто перегружен лишними физическими подробностями ("адиабатический процесс", "изотоп", "ЭДС"). Пропускай этот шум. Твой фокус: формула, значения переменных, вопрос.
Проверка на адекватность (здравый смысл): Полученные ответы всегда описывают реальный мир. Если в ответе скорость автомобиля получилась $3500$ км/ч, а время закипания чайника - $0, 001$ секунды, ищи арифметическую ошибку.
Вычисления: Не спеши перемножать большие числа в формулах. Запиши их в виде дроби и постарайся максимально сократить. В 90% случаев числа подобраны так, чтобы вычисления были красивыми.