Преобразования числовых тригонометрически… — ЕГЭ профиль

Преобразования числовых тригонометрических выражений (Задание 8)

Задание 8 проверяет твоё умение работать с алгебраическими и тригонометрическими выражениями. В тригонометрических прототипах этого номера часто встречаются «некрасивые» углы: $13 6^{\circ},$ $\frac{11 π}{12},$ $\frac{7 π}{8} .$ Их нет в стандартной таблице, и посчитать их напрямую нельзя.

Суть этих задач всегда одна: нужно применить формулу, которая превратит плохой угол в хороший. В 90% случаев это формулы двойного угла, иногда подключаются формулы приведения и основное тригонометрическое тождество.

Основные формулы

Для уверенного решения тебе нужны четыре группы формул: основное тождество, формулы двойного угла, формулы понижения степени и формулы приведения. На окружность опираются все они, поэтому держи её перед глазами.

Тригонометрическая окружность со знаками по четвертям

Потяни угол θ и посмотри, как знаки sin и cos меняются по четвертям

ВАЖНОЕ

Основное тригонометрическое тождество

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Отсюда мгновенно выражаются квадраты функций друг через друга:

sin^{2} α = 1 - cos^{2} α, cos^{2} α = 1 - sin^{2} α

Формулы двойного угла - главный инструмент этой темы. Запомни все три формы записи для косинуса: на ЕГЭ проверяют каждую из них.

ВАЖНОЕ

Формулы двойного угла

Для синуса формула одна:

sin 2 α = 2 sin α \cdot cos α

Для косинуса три равноценных формы:

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1

cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α

Иногда удобнее смотреть на формулы косинуса двойного угла с другой стороны - это формулы понижения степени. Они помогают избавиться от квадратов.

ВАЖНОЕ

Формулы понижения степени

cos^{2} α = \frac{1 + cos 2 α}{2}

sin^{2} α = \frac{1 - cos 2 α}{2}

Чтобы сводить большие и нестандартные углы к первой четверти, используются формулы приведения. Их не нужно учить наизусть - достаточно понимать логику по окружности.

Тригонометрическая окружность с опорным острым углом alpha в

ВАЖНОЕ

Формулы приведения (опорные случаи)

sin (π - α) = sin α, cos (π - α) = - cos α

sin (π + α) = - sin α, cos (π + α) = - cos α

sin (2 π - α) = - sin α, cos (2 π - α) = cos α

cos (\frac{π}{2} - α) = sin α, sin (\frac{π}{2} - α) = cos α

Периодичность: $sin (α + 2 π k) = sin α$ и $cos (α + 2 π k) = cos α$ при $k \in Z .$

✓СОВЕТ

Мнемоника для знаков

Фраза «все - синус - тангенс - косинус»: в I четверти положительны все функции, во II положителен только синус, в III только тангенс и котангенс, в IV только косинус. Знак в формуле приведения всегда определяется по четверти, в которой лежит исходный аргумент.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм преобразования выражения

1. Найди связь между углами. Посмотри на аргументы тригонометрических функций. Один угол ровно в два раза больше другого? Или их сумма даёт $9 0^{\circ} ?$ Есть отличие от $π,$ $2 π$ или $\frac{π}{2} ?$
2. Вынеси общий множитель. Если выражение выглядит как $A cos^{2} α - B sin^{2} α$ или $A cos^{2} α - C,$ вынеси числовой коэффициент за скобку. В скобках должна образоваться классическая формула двойного угла.
3. Сверни по формуле. Замени выражение в скобках на функцию двойного угла (умножь исходный аргумент на $2$ ) или на функцию с приведённым углом.
4. Сведи к табличному углу. После удвоения или приведения угол станет стандартным (например, $\frac{11 π}{12}$ после удвоения превратится в $\frac{11 π}{6}$ ). Найди его значение по тригонометрической окружности.
5. Определи знак по четверти. Для каждого преобразования проверь четверть аргумента и знак исходной функции в ней.
6. Умножь на коэффициент. Доведи вычисления до конца. Ответ в первой части ЕГЭ всегда должен быть целым числом или конечной десятичной дробью.

Примеры решения

Разберём три типичных сюжета, которые встречаются на ЕГЭ: вынесение за скобку до косинуса двойного угла, разность квадратов и работа с дополнительными углами.

ПРИМЕР 1

Косинус двойного угла через один квадрат

Условие:
Найди значение выражения

83 cos^{2} \frac{7 π}{12} - 43

ПРИМЕР 2

Разность квадратов

Условие:
Найди значение выражения

52 cos^{2} \frac{13 π}{8} - 52 sin^{2} \frac{13 π}{8}

ПРИМЕР 3

Дроби и дополнительные углы

Условие:
Найди значение выражения

\frac{12 sin 8 4 ^{\circ}}{cos 4 2 ^{\circ} \cdot cos 4 8 ^{\circ}}

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в знаках косинуса двойного угла

Ошибка: Свернуть выражение $1 - 2 cos^{2} α$ в $cos 2 α$ или $2 sin^{2} α - 1$ в $cos 2 α .$
Правильно: Обращай внимание на знаки. Рабочие формулы выглядят ровно так: $2 cos^{2} α - 1$ и $1 - 2 sin^{2} α .$ Если в задаче знаки перепутаны (например, дано $4 - 8 cos^{2} α$ ), выноси за скобку отрицательное число, чтобы внутри поменять знаки: $- 4 (2 cos^{2} α - 1) = - 4 cos 2 α .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вынесение квадрата за скобку

Ошибка: Написать $sin^{2} 2 α = 2 sin^{2} α \cdot cos^{2} α .$
Правильно: Синус двойного угла в квадрате возводит в квадрат ВСЕ множители: $sin^{2} 2 α = (2 sin α cos α)^{2} = 4 sin^{2} α cos^{2} α .$ Потеря четвёрки - типичный способ получить неправильный ответ.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак по исходной функции, а не по результату

Ошибка: В формуле приведения проверять знак по той функции, которая получилась справа. Например, записать $cos (π - α) = cos α,$ рассуждая «косинус во II четверти отрицателен, но справа уже стоит косинус, значит плюс».
Правильно: Сначала определи четверть, в которой лежит исходный аргумент $π - α$ (при $0 < α < \frac{π}{2}$ это II четверть). Затем возьми знак исходной функции в этой четверти: косинус во II четверти отрицателен, поэтому $cos (π - α) = - cos α .$

Что запомнить

Если видишь странный угол с $π$ и знаменателем $8$ или $12$ - это почти всегда задача на удвоение угла.
Выноси за скобку числовой коэффициент целиком, чтобы внутри осталась ровно формула один в один из справочника.
Если в дроби даны углы в градусах, ищи те, сумма которых равна $9 0^{\circ} :$ одна функция легко превратится в другую и сократится.
Знак функции всегда определяй по четверти исходного аргумента, а не «интуитивно по таблице».
Если радианы пугают, переведи их в градусы, подставив $π = 18 0^{\circ} :$ например, $\frac{7 π}{8} = 157, 5^{\circ},$ и станет понятно, что угол лежит во II четверти.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время выполнения: 3-5 минут. Задание базовое, при правильно угаданной формуле решается в 2-3 строчки.
Дважды проверь знак. Самая частая потеря баллов здесь - потерянный минус при вычислении $cos \frac{7 π}{6}$ или аналогичного угла во II или III четверти. Перед записью ответа нарисуй окружность на черновике и ткни ручкой в нужную четверть.
Адекватность ответа: Из-за формата бланка ЕГЭ ответ не может содержать корни или символы $π .$ Все иррациональности ( $3,$ $2$ ) должны сократиться или перемножиться в целое число. Если корень остался - ищи ошибку в знаке или в табличном значении.
Запасной план: Если забыл формулу косинуса двойного угла через синус, выпиши $cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α$ и основное тождество $sin^{2} α + cos^{2} α = 1 .$ Остальные формы выводятся за 10 секунд.

Проверь себя0 из 4

1.Какая из записей является верной формой косинуса двойного угла?

2.Чему равно выражение

2 cos^{2} \frac{7 π}{12} - 1 ?

3.Как раскрывается

sin^{2} 2 α ?

4.Чему равен

cos (π - α) ?