Преобразования числовых логарифмических… — ЕГЭ профиль

Преобразования числовых логарифмических выражений

Задание 8 в ЕГЭ по математике проверяет твоё умение работать с выражениями. Примерно в четверти вариантов на этой позиции встречаются логарифмы. Главная цель таких задач - превратить на первый взгляд громоздкое выражение со страшными числами в аккуратное целое число или конечную десятичную дробь, которую можно записать в бланк.

Для успешного решения не нужно строить графики или решать сложные уравнения. Достаточно знать свойства логарифмов и уметь применять их как слева направо, так и справа налево.

Основные формулы

Все вычисления в этих задачах строятся на небольшом наборе базовых свойств. Выучи их наизусть - это фундамент.

ВАЖНОЕ

Основное логарифмическое тождество

Если логарифм находится в показателе степени, а основание степени совпадает с основанием логарифма, они «уничтожают» друг друга:

a^{l o g_{a} b} = b

Обратная форма того же тождества - «съедание» степени под знаком логарифма:

lo g_{a} a^{n} = n

Примеры: $5^{l o g_{5} 12} = 12,$ а $lo g_{3} 81 = lo g_{3} 3^{4} = 4 .$

ВАЖНОЕ

Сложение и вычитание логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения. Разность логарифмов - логарифму частного.

lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)

lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} (\frac{x}{y})

Важно: основания логарифмов должны быть абсолютно одинаковыми!

ВАЖНОЕ

Вынесение степени

Степень аргумента (числа внутри логарифма) выносится вперёд как обычный множитель. Степень основания выносится вперёд как перевёрнутая дробь.

lo g_{a} (x^{n}) = n \cdot lo g_{a} x

lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} \cdot lo g_{a} x

Если степени есть везде, их можно вынести одновременно:

lo g_{a^{k}} (x^{n}) = \frac{n}{k} \cdot lo g_{a} x

ВАЖНОЕ

Переход к новому основанию (и обратно)

Если в задаче есть дробь, где в числителе и знаменателе стоят логарифмы с одинаковым основанием, её можно «схлопнуть» в один логарифм:

\frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} = lo g_{a} b

✓СОВЕТ

Три равенства, без которых не решить ни одной задачи

Запомни их до автоматизма. Любое вычисление логарифма в задании 8 в конце сводится к одной из этих строк.

Равенство	Почему так
$lo g_{a} 1 = 0$	Любое число в нулевой степени равно единице: $a^{0} = 1 .$
$lo g_{a} a = 1$	В какую степень надо возвести $a,$ чтобы получить $a ?$ В первую.
$lo g_{a} a^{n} = n$	Если под логарифмом стоит степень самого основания - степень и есть ответ.

Алгоритм решения

В задании 8 тебе никогда не дадут нерешаемое выражение. Если числа кажутся «плохими», значит, их нужно сгруппировать.

АЛГОРИТМ

Как решать логарифмическое выражение

1. Проверь основания. Если у всех логарифмов одинаковое основание - отлично, переходи к шагу 3.
2. Уравняй основания. Если основания разные (например, $2$ и $4,$ или $3$ и $3$ ), представь их как степени одного и того же числа. Вынеси эти степени вперёд по формулам.
3. Примени свойства сложения и вычитания. Сгруппируй логарифмы: сложи суммы в произведения, разности - в дроби.
4. Сверни дроби. Если видишь деление одного логарифма на другой с тем же основанием, примени формулу перехода к новому основанию в обратную сторону.
5. Вычисли итоговое значение. В самом конце у тебя должен остаться один простой логарифм вида $lo g_{2} 32 .$ Вычисли его, ответив на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?».

Примеры решения

Разберём три типичные задачи от простого к сложному. Все они составлены по мотивам реальных экзаменационных задач.

ПРИМЕР 1

Сложение и вычитание

Найдите значение выражения
$lo g_{4} 10, 4 + lo g_{4} 10 - lo g_{4} 6, 5$

ПРИМЕР 2

Работа со степенями и корнями

Найдите значение выражения
$15 \cdot lo g_{53} 3$

ПРИМЕР 3

Комбинация свойств и смена основания

Найдите значение выражения

\frac{lo g _{8} 54}{lo g _{8} 6} + lo g_{6} \frac{2}{3}

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки с арифметикой внутри логарифма

Ошибка: Думать, что $lo g_{2} (8 + 8) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8 .$
Правильно: Свойства «логарифм суммы» не существует. Считаем отдельно: логарифм суммы $lo g_{2} (8 + 8) = lo g_{2} 16 = 4,$ а сумма логарифмов $lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8 = lo g_{2} (8 \cdot 8) = lo g_{2} 64 = 6 .$ Результаты разные: логарифм превращает в сложение умножение, а не сложение.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница при вынесении степени из основания

Ошибка: Вынести степень из основания напрямую. Например, в выражении $lo g_{2^{3}} 5$ написать $3 \cdot lo g_{2} 5 .$
Правильно: Степень из основания выносится перевёрнутой. Правильно будет $\frac{1}{3} lo g_{2} 5 .$ Из аргумента степень выносится прямо, из основания - вверх ногами.

Что запомнить

Вижу сумму логарифмов $⟹$ умножаю их аргументы.
Вижу разность логарифмов $⟹$ делю первый аргумент на второй.
Вижу корень $⟹$ перевожу в дробную степень и выношу вперёд.
Вижу деление логарифмов с одинаковым основанием $⟹$ схлопываю в один логарифм.

✓СОВЕТ

Таблица степеней для распознавания аргументов

В задании 8 почти всегда ответ - это $lo g$ от степени своего основания. Чтобы увидеть такую степень с первого взгляда, держи в голове эти значения.

Степени двойки: $2^{2} = 4, 2^{3} = 8, 2^{4} = 16, 2^{5} = 32, 2^{6} = 64, 2^{7} = 128, 2^{8} = 256, 2^{9} = 512, 2^{10} = 1024 .$
Степени тройки: $3^{2} = 9, 3^{3} = 27, 3^{4} = 81, 3^{5} = 243 .$
Степени пятёрки: $5^{2} = 25, 5^{3} = 125, 5^{4} = 625 .$
Степени шестёрки и семёрки: $6^{2} = 36, 6^{3} = 216, 7^{2} = 49, 7^{3} = 343 .$
Степени десятки: $1 0^{2} = 100, 1 0^{3} = 1000, 1 0^{4} = 10000$ (для десятичных логарифмов $l g$ ).
Разложения составных чисел: $12 = 2^{2} \cdot 3,$ $18 = 2 \cdot 3^{2},$ $24 = 2^{3} \cdot 3,$ $36 = 6^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2},$ $54 = 2 \cdot 3^{3},$ $72 = 2^{3} \cdot 3^{2},$ $108 = 2^{2} \cdot 3^{3} .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 8

Время выполнения: 3-5 минут.
Очередность: Это базовое задание, решай его в первую очередь вместе с остальной первой частью.
Проверка: Если в ответе получился логарифм, который не считается до целого числа или конечной десятичной дроби (например, $lo g_{2} 5$ ), значит, ты где-то ошибся. В первой части ЕГЭ ответ всегда должен быть красивым числом. Вернись на шаг назад и проверь арифметику при сокращении дробей или умножении десятичных чисел.
Быстрая прикидка: При работе с десятичными дробями внутри логарифмов (как в первом примере) умножай их на $10,$ $100$ и так далее, чтобы перевести в целые числа. Вероятность ошибки при сокращении обыкновенных дробей в разы ниже, чем при делении десятичных уголком.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

5^{l o g_{5} 12} ?

2.Чему равна сумма

lo g_{3} x + lo g_{3} y

(при

x > 0,

y > 0

3.Как правильно вынести степень из основания:

lo g_{2^{3}} 5 = ?

4.Чему равна дробь

\frac{lo g _{8} 54}{lo g _{8} 6} ?