Преобразования числовых иррациональных… — ЕГЭ профиль

Преобразования числовых иррациональных выражений

Задание 8 (вычисления и преобразования) проверяет умение работать с различными выражениями. Иррациональные выражения (то есть выражения с корнями) встречаются здесь не так часто, как логарифмы или тригонометрия, но требуют предельной аккуратности.

Главное правило, которое нужно помнить: в первой части ЕГЭ ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь. Если в конце решения у тебя остался корень - ищи ошибку.

Основные формулы

Для успешного решения нужно уверенно владеть свойствами корней $n$ -ной степени и формулами сокращённого умножения.

ВАЖНОЕ

Умножение и деление корней

Корни одинаковой степени можно объединять под один знак и разъединять обратно:

n a \cdot n b = n ab при a ⩾ 0, b ⩾ 0

\frac{n a}{n b} = n \frac{a}{b} при a ⩾ 0, b > 0

ВАЖНОЕ

Внесение и вынесение множителя

Чтобы вынести множитель из-под корня, выдели полный квадрат (или куб):

a^{2} b = a b при a ⩾ 0, b ⩾ 0

a b = a^{2} b при a ⩾ 0, b ⩾ 0

ВАЖНОЕ

Квадрат суммы и разности с корнями

Формулы сокращённого умножения работают с корнями точно так же, как и с переменными. В среднем слагаемом возникает $ab :$

(a \pm b)^{2} = a \pm 2 ab + b

ВАЖНОЕ

Сопряжённые выражения

Произведение сопряжённых «убивает» корни: получается просто разность подкоренных чисел. Это главный приём для избавления от иррациональности.

(a - b) (a + b) = a - b

ВАЖНОЕ

Корень из квадрата

Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен, поэтому результат всегда записывается через модуль:

a^{2} = ∣ a ∣

Если знак $a$ известен, модуль раскрывается: при $a ⩾ 0$ получается $a,$ при $a < 0$ получается $- a .$

Алгоритм решения

Ключевая идея - представить подкоренное число как произведение «удобной» части (полного квадрата или куба) и «неудобной», которая потом сократится с другим множителем.

АЛГОРИТМ

Как решать задачи с корнями

1. Объедини корни одинаковой степени. Произведение или частное корней загони под один общий знак корня.
2. Разложи большие числа на множители. Ищи под корнем полный квадрат (для $x$ ) или полный куб (для $3 x$ ), который извлекается целиком.
3. Раскрой скобки. При сумме или разности применяй распределительное свойство или формулы сокращённого умножения с корнями.
4. Приведи подобные слагаемые. В правильном решении все корни должны либо сократиться, либо извлечься нацело.
5. Запиши целое число или конечную десятичную дробь. Если остался корень - где-то потерян множитель или пропущено упрощение.

Примеры решения

Дальше - три типичных сценария, которые могут встретиться на экзамене: от стандартного произведения корней до сложного вложенного радикала.

ПРИМЕР 1

Умножение и деление корней

Найдите значение выражения $\frac{3 54 \cdot 3 16}{3 4} .$

ПРИМЕР 2

Раскрытие скобок

Найдите значение выражения $(150 - 54) \cdot 6 .$

ПРИМЕР 3

Сложный радикал

Найдите значение выражения $13 + 43 - 13 - 43 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Корень из суммы

Ошибка: Считать, что $a + b = a + b .$ Например, $16 + 9 = 4 + 3 = 7 .$
Правильно: Корень нельзя разбивать на сумму или разность! Сначала нужно выполнить сложение под корнем: $16 + 9 = 25 = 5 .$ Разбивать корень можно только при умножении и делении.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака при извлечении квадрата

Ошибка: Раскрывать $(1 - 2)^{2}$ просто как $1 - 2 .$ В итоге получается отрицательное число, хотя квадратный корень по определению неотрицателен.
Правильно: Использовать модуль. $(1 - 2)^{2} = ∣1 - 2 ∣ .$ Так как $2 > 1,$ выражение внутри модуля отрицательное, поэтому раскрываем с противоположным знаком: $2 - 1 .$

Что запомнить

Если степени корней одинаковые - смело загоняй всё под один корень.
Если под корнем большие числа - не спеши их умножать, лучше разложи на множители.
Формулы сокращённого умножения работают с корнями точно так же, как и с обычными переменными.
Корень из квадрата - это модуль.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения

Тайминг: 3-5 минут.
Очерёдность: Решай сразу, как только дойдёшь до задания 8. Это простая алгебра, не требующая глубоких размышлений.
Проверка: Самый надёжный маркер правильности - отсутствие корней в финальном ответе. Если в бланке предполагается написать число, а у тебя вылезло $32,$ значит, где-то допущена арифметическая ошибка или не до конца упрощено выражение.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно

a^{2}

для любого числа

a ?

2.Чему равно

3216 ?

3.Чему равно произведение

(7 - 5) (7 + 5) ?

4.В ответе задания 8 первой части у тебя получилось

32 .

Что это означает?