Последовательности и прогрессии — ЕГЭ профиль

Суть темы: прогрессии в мире целых чисел

Задачи на последовательности и прогрессии в 20-м номере сильно отличаются от того, что ты решаешь в первой части. Здесь от тебя не требуют просто подставить числа в формулу. Главная цель - исследовать свойства прогрессии: делимость её членов, чётность суммы, ограничения на количество элементов.

Чаще всего в таких задачах фигурируют натуральные или целые числа. Это значит, что стандартные формулы нужно рассматривать через призму теории чисел (раскладывать на множители, анализировать остатки).

Основные формулы

Формулы прогрессий остаются стандартными, но применять их придётся для оценок и уравнений в целых числах.

ВАЖНОЕ

Арифметическая прогрессия

Каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число $d$ (разность).
Формула $n$ -го члена:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Сумма первых $n$ членов:

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}

ВАЖНОЕ

Геометрическая прогрессия

Каждый следующий член отличается от предыдущего в одно и то же число $q$ раз (знаменатель).
Формула $n$ -го члена:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Сумма первых $n$ членов ( $q \neq = 1$ ):

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}

ВАЖНОЕ

Рабочее уравнение задания 20

Избавься от дроби в формуле суммы арифметической прогрессии, умножив обе части на 2:

2 S_{n} = n (2 a_{1} + (n - 1) d)

Это главный инструмент темы. Левая часть - известное число. Правая - произведение $n$ на целую скобку. Значит, $n$ обязано быть делителем числа $2 S_{n}$ - отсюда перебор кандидатов.

ВАЖНОЕ

Характеристические свойства

Три последовательных члена арифметической прогрессии связаны равенством:

a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}

Для геометрической прогрессии с положительными членами:

b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}

Эти равенства помогают доказывать, что данные числа образуют прогрессию, или, наоборот, что не образуют.

Алгоритм решения

В 20-м задании пункты всегда выстроены от простого к сложному.

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на прогрессии

1. Переведи текст в формулы. Обозначь первый член ( $a_{1}$ ), разность ( $d$ ) и количество членов ( $n$ ). Составь уравнение по условию.
2. Пункт «а» (поиск примера). Обычно здесь спрашивают «Может ли...». Подставь предложенное число в своё уравнение и попробуй подобрать остальные параметры так, чтобы они были целыми/натуральными. Если получилось - просто запиши пример (саму последовательность), этого достаточно.
3. Пункт «б» (доказательство невозможности). Подставь новое условие. Получится уравнение, которое не имеет решений в целых числах. Докажи это с помощью признаков делимости, чётности или оценки.
4. Пункт «в» (оценка + пример). Вырази искомую величину. Составь неравенство на основе ограничений из условия (например, $a_{1} ⩾ 1$ ). Найди теоретический максимум или минимум (это «оценка»). Затем обязательно приведи числовой пример, подтверждающий, что эта оценка достигается.

Примеры решения

Ниже две задачи. Первая покажет, как работать с двумя связанными прогрессиями, а вторая - как выжимать максимум из формулы суммы.

ПРИМЕР 1

Две прогрессии с шагом 1

Условие:
Антон и Борис читают книги. В первый день Антон прочитал $a$ страниц, а Борис - $b$ страниц (оба числа натуральные). Каждый следующий день каждый из мальчиков читал ровно на 1 страницу больше, чем в предыдущий. Ребята читали одинаковое число дней $n$ ( $n > 1$ ). За всё время Борис прочитал суммарно на 315 страниц больше, чем Антон.

а) Могли ли они читать ровно 7 дней?
б) Могли ли они читать ровно 10 дней?
в) Какое наибольшее число страниц мог прочитать Борис за все дни, если известно, что в последний день Антон прочитал менее 30 страниц?

ПРИМЕР 2

Ограничения формулы суммы

Условие:
На доске написана конечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел. Сумма всех членов прогрессии равна 105.

а) Может ли в этой прогрессии быть ровно 6 членов?
б) Может ли в этой прогрессии быть ровно 4 члена?
в) Какое наибольшее число членов может быть в этой прогрессии?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в количестве шагов

Ошибка: Записывать $n$ -й член арифметической прогрессии как $a_{n} = a_{1} + n d .$
Правильно: От первого до $n$ -го члена ровно $n - 1$ шагов. Поэтому $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d .$ При $n = 5$ прибавляется $4 d,$ а не $5 d .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Оценка без примера

Ошибка: В пункте «в» решить неравенство (например, получить $n ⩽ 14$ ), написать ответ «14» и закончить решение.
Правильно: Обязательно привести конкретный пример прогрессии для найденного максимума/минимума. Без примера оценка считается недоказанной, и ты потеряешь баллы.

Что запомнить

Раскладывай на множители. Избавься от знаменателя в формуле суммы: $2 S_{n} = n (2 a_{1} + (n - 1) d) .$ Число $n$ обязательно должно быть делителем правой части.
Оценивай скобку. Если все элементы натуральные, то $2 a_{1} ⩾ 2,$ а $(n - 1) d ⩾ n - 1 .$ Это позволяет быстро ограничить максимальное значение $n .$
Следи за чётностью. Если $n$ чётное, то $n /2$ - целое, а значит сумма зависит от чётности скобки $(2 a_{1} + (n - 1) d) .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 20

Время выполнения: 30-40 минут.
Очерёдность: Оставь на самый конец экзамена. 20-я задача требует свободного времени для перебора вариантов и размышлений.
Хватай лёгкие баллы: Даже если задача кажется сложной, попробуй решить пункт «а». Зачастую ответ на него можно просто угадать перебором за 5 минут, и это даст тебе 1 первичный балл.
Пиши примеры явно: Если в пункте «а» или «б» ответ «да», недостаточно написать «да, может, я подобрал числа». Обязательно выпиши саму последовательность и покажи расчётом, что она удовлетворяет условиям.

За что дают баллы

В задании 20 действует накопительная система оценивания (от 0 до 4 баллов):

4 балла: Абсолютно верно решены все три пункта (а, б, в).
3 балла: Верно решён пункт «в» (есть и оценка, и пример) + верно решён пункт «а» ИЛИ «б».
2 балла: Верно решены пункты «а» и «б» (пункт «в» не решён). ИЛИ идеально решён только пункт «в».
1 балл: Верно решён только пункт «а» ИЛИ только пункт «б». (Если в пункте «в» есть правильная оценка, но нет примера, это тоже могут оценить в 1 балл в зависимости от критериев конкретного года).
0 баллов: Нет верных продвижений. Написан ответ «да/нет» без обоснования или примеров.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен

n

-й член арифметической прогрессии?

2.Сумма первых

n

членов арифметической прогрессии равна

S_{n} .

Делителем какого числа обязано быть

n

в уравнении

n (2 a_{1} + (n - 1) d) = \dots ?

3.Два мальчика читают по арифметической прогрессии с разностью 1 одинаковое число дней

n,

и разность их сумм равна 315. Почему

n = 10

невозможно?

4.Возрастающая арифметическая прогрессия из натуральных чисел имеет сумму 105. Какое наибольшее число членов в ней возможно?