Разобрался в теме? Закрепи на задачах
Задачи по каждой теме с ИИ-проверкой и конспекты по всем разделам ЕГЭ. Бесплатно, 20 проверок в неделю.
Задание 20 - это последняя и самая «нестандартная» задача профильного ЕГЭ. Она проверяет математическую логику, умение строить примеры и доказывать утверждения. Многие боятся этого задания, считая его уделом олимпиадников, но пункты «а» и «б» часто решаются простым перебором и логикой уровня 6-8 класса. Это отличный шанс заработать дополнительные баллы!
В задании 20 нет сложных интегралов или логарифмов. Абсолютное большинство задач посвящено свойствам натуральных и целых чисел. Самые частые сюжеты:
1. Числовые наборы на доске или карточках (нужно стирать, добавлять, считать среднее арифметическое или сумму).
2. Делимость и остатки (задачи на суммы цифр, кратные числа).
3. Последовательности и прогрессии (арифметическая прогрессия встречается регулярно).
В 20 задании нужно не столько знать формулы, сколько уметь пользоваться базовыми правилами математики.
При сложении и вычитании:
Ч±Ч=Ч,Н±Н=Ч,Ч±Н=НПри умножении произведение чётно, если хотя бы один из множителей чётный.
Любое целое число a можно представить в виде a=b⋅q+r, где b - делитель, q - неполное частное, а r - остаток (0⩽r<b). Важное свойство: остаток суммы равен сумме остатков, а остаток произведения равен произведению остатков.
1. Внимательно прочитай условия ограничения. Самые частые ловушки: сказано «натуральные» (без нуля и отрицательных), а используются целые; сказано «различные», а в примере есть одинаковые.
2. Пункт «а» (1 балл): Приведи пример. Не нужно выводить сложных формул. Начни с малых чисел, попробуй подобрать подходящий набор в черновике. Если нашлась подходящая комбинация - просто запиши её и покажи, что она подходит под все условия.
3. Пункт «б» (1 балл): Докажи невозможность или приведи пример. Если подобрать числа не получается, скорее всего, ответ «нет». Докажи это: используй оценку (сумма получается слишком большой/маленькой), свойства чётности или остатки.
4. Пункт «в» (2 балла): Оценка + Пример. Сначала докажи, что искомая величина не может быть больше (или меньше) какого-то числа M. Затем обязательно приведи конкретный пример набора чисел, при котором достигается это значение M.
Ниже разобраны классические задачи на «числа на доске», которые отлично иллюстрируют логику экзамена.
Условие:
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Условие:
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть B - шестое по величине число, а S - среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S−B.
Ошибка: В пункте «в» написать долгие рассуждения, доказать, что наибольшая сумма равна 35, и написать ответ. За это ставят только 1 балл из 2 возможных за этот пункт!
Правильно: Принцип «Оценка + Пример» неразделим. Доказав, что больше 35 быть не может (оценка), обязательно напиши: «Пример такого набора: 7, 8, 9, 11» и покажи вычисления.
Ошибка: Подобрать для пункта «а» пример с нулём (ноль - целое, но не натуральное число) или пример, где есть два одинаковых числа, когда в условии сказано «различные».
Правильно: После того как придуман пример, перечитай первое предложение задачи и сверь каждую деталь.
Оценивание задания 20 максимально прозрачно: