Показательные уравнения и неравенства — ЕГЭ профиль

Показательные уравнения в прикладных задачах (Задание 10)

Десятое задание проверяет умение работать с физическими формулами. В подтеме «Показательные уравнения» тебе встретятся задачи на радиоактивный распад, охлаждение нагретого тела по закону Ньютона и размножение бактерий. Все эти процессы описываются одним семейством формул, в которых неизвестная величина (обычно время $t$ ) сидит в показателе степени.

Главное правило: здесь не нужно знать физику. Задача сводится к тому, чтобы аккуратно подставить числа в готовую формулу и решить полученное показательное уравнение. Твоя цель - привести уравнение к виду $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ и приравнять показатели.

График экспоненциального распада и роста

Основные формулы

Чтобы справляться с такими задачами, нужно железно знать свойства степеней и определение логарифма.

ВАЖНОЕ

Решение простейшего показательного уравнения

Две степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели:

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x)

(при условии, что $a > 0$ и $a \neq = 1$ )

ВАЖНОЕ

Закон радиоактивного распада

m = m_{0} \cdot 2^{- t / T}

где $m_{0}$ - начальная масса вещества, $T$ - период полураспада (время, за которое распадается ровно половина). За каждый отрезок длины $T$ масса уменьшается вдвое.

ВАЖНОЕ

Ключевые свойства степеней

Для решения задач на распад и рост чаще всего нужны отрицательные степени и перевороты дробей:

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, (\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}

Пример: $8 = 2^{3},$ а $\frac{1}{8} = 2^{- 3} .$

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задачи 10

1. Выпиши формулу и «дано». Внимательно прочитай текст, выпиши формулу и столбиком запиши все известные величины с их значениями и единицами измерения.
2. Подставь числа в формулу. Не пытайся сначала алгебраически выразить неизвестную - сразу подставляй всё известное. Формула визуально сожмётся.
3. Изолируй степень. Раздели обе части уравнения на числовые коэффициенты перед показательной функцией. Слева должно остаться обычное число (часто дробь), справа - только степень вида $2^{- t / T} .$
4. Приведи к одному основанию. Представь число слева в виде степени с тем же основанием, что и справа. Дробь вида $\frac{1}{2 ^{k}}$ - это $2^{- k} .$
5. Приравняй показатели. Основания одинаковые - отбрасываем их. Остаётся простое линейное уравнение на неизвестную. Реши его.
6. Проверь ответ подстановкой. Подставь найденное значение $t$ в исходную формулу. Должно получиться именно то число, которое указано в условии.

Примеры решения

Три типовые задачи с разными физическими моделями: радиоактивный распад, охлаждение и размножение бактерий.

ПРИМЕР 1

Радиоактивный распад

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону

m = m_{0} \cdot 2^{- t / T},

где $m_{0}$ - начальная масса (в мг), $t$ - время (в минутах), $T$ - период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа равна $80$ мг, а период полураспада составляет $3$ минуты. Найди, через сколько минут масса изотопа будет равна $10$ мг.

Решение:

Выпишем дано: $m_{0} = 80,$ $T = 3,$ $m = 10 .$ Найти: $t .$

Подставим значения в формулу:

10 = 80 \cdot 2^{- t /3}

Изолируем степень, разделив обе части на $80 :$

\frac{10}{80} = 2^{- t /3} ⟺ \frac{1}{8} = 2^{- t /3}

Приведём к одному основанию. Знаем, что $8 = 2^{3},$ значит $\frac{1}{8} = 2^{- 3} :$

2^{- 3} = 2^{- t /3}

Приравняем показатели:

- 3 = - \frac{t}{3} ⟺ t = 9

Проверка: $80 \cdot 2^{- 9/3} = 80 \cdot 2^{- 3} = \frac{80}{8} = 10 .$ Сошлось.

Ответ: $9$

ПРИМЕР 2

Охлаждение тела (закон Ньютона)

Температура тела $ϑ$ (в градусах Цельсия) при охлаждении в помещении убывает по закону

ϑ = ϑ_{к} + (ϑ_{0} - ϑ_{к}) \cdot 2^{- t / τ},

где $ϑ_{0}$ - начальная температура тела, $ϑ_{к} = 20^{\circ} C$ - температура помещения, $t$ - время с начала охлаждения (в минутах), $τ$ - характеристическое время (в минутах). В начальный момент температура тела равна $180^{\circ} C,$ характеристическое время $τ = 7$ минут. Через сколько минут температура тела станет равна $30^{\circ} C ?$

График охлаждения тела по закону Ньютона из Примера 2

ПРИМЕР 3

Размножение бактерий

Количество бактерий $N$ в колонии растёт по закону

N = N_{0} \cdot 2^{t / T},

где $N_{0}$ - начальное количество бактерий, $T$ - время удвоения (в часах), $t$ - время с начала наблюдения (в часах). В начальный момент в чашке Петри было $N_{0} = 150$ бактерий, время удвоения $T = 2$ часа. Через сколько часов количество бактерий достигнет $9600 ?$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Умножение основания на коэффициент

Ошибка: превратить выражение $100 \cdot 2^{- t / T}$ в $20 0^{- t / T} .$

Правильно: степень $2^{- t / T}$ «приклеена» к своей двойке. Умножать число $100$ на основание $2$ категорически нельзя. Сначала раздели обе части уравнения на $100,$ чтобы степень осталась одна:

100 \cdot 2^{- t / T} = 25 ⟺ 2^{- t / T} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря минуса при перевороте дроби

Ошибка: получить уравнение $\frac{1}{16} = 2^{- x}$ и записать $2^{4} = 2^{- x} .$

Правильно: дробь $\frac{1}{16}$ - это двойка в отрицательной степени. Корректная запись:

\frac{1}{16} = 2^{- 4}, значит 2^{- 4} = 2^{- x} ⟺ x = 4

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Единицы времени и момент

t = 0

Ошибка 1: в формуле период полураспада $T$ задан в минутах, а время $t$ подставляют в секундах (или наоборот).

Ошибка 2: считать, что при $t = 0$ масса равна нулю. На самом деле $2^{0} = 1,$ поэтому $m (0) = m_{0} \cdot 1 = m_{0}$ - в начальный момент масса равна начальной массе, а не нулю.

Правильно: сверяй единицы измерения $t$ и $T$ до подстановки. А при подстановке $t = 0$ помни: любое число в нулевой степени равно $1,$ поэтому формула даёт именно $m_{0} .$

Что запомнить

✓СОВЕТ

Таблица степеней для приведения к одному основанию

Перед экзаменом отработай эту таблицу до автоматизма - почти все задачи сводятся к одной из этих строк.

$A$	$A = 2^{k}$	$\frac{1}{A}$	$\frac{1}{A} = 2^{- k}$
$2$	$2^{1}$	$\frac{1}{2}$	$2^{- 1}$
$4$	$2^{2}$	$\frac{1}{4}$	$2^{- 2}$
$8$	$2^{3}$	$\frac{1}{8}$	$2^{- 3}$
$16$	$2^{4}$	$\frac{1}{16}$	$2^{- 4}$
$32$	$2^{5}$	$\frac{1}{32}$	$2^{- 5}$
$64$	$2^{6}$	$\frac{1}{64}$	$2^{- 6}$

Сокращай, а не умножай. В задачах с большими числами авторы ЕГЭ специально подбирают значения так, чтобы всё легко делилось. Всегда дели обе части уравнения на коэффициенты перед степенью, прежде чем работать с показателем.
Сначала изолируй степень, потом переводи в одно основание. Пока слева остаётся «лишнее» число (например, $120$ ), переводить $\frac{1}{8}$ в $2^{- 3}$ рано.
Формат ответа. В задаче 10 ответ всегда целое число или короткая десятичная дробь. Получилось $t = lo g_{2} 5$ или $t = \frac{7}{3}$ - ищи арифметическую ошибку в подстановке.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-7 минут.
Приоритет: классическая задача повышенного уровня из первой части. Решай её сразу после самых простых номеров (1-4, 7-9).
Проверка физическим смыслом. При распаде масса должна уменьшаться ( $m < m_{0}$ ), при росте - увеличиваться ( $N > N_{0}$ ), при охлаждении температура приближается к комнатной. Если при вычислении времени $t$ получилось отрицательное число - ищи ошибку в знаках показателя.
Проверка подстановкой. Посчитай $2^{t / T}$ для найденного $t$ в уме (через таблицу степеней) и подставь в исходную формулу. Должно получиться ровно то число, которое задано в условии.

Проверь себя0 из 4

1.Масса изотопа меняется по закону

m = m_{0} \cdot 2^{- t / T} .

Чему равна масса при

t = 0 ?

2.Уравнение

\frac{1}{16} = 2^{- t /3} .

Чему равно

t ?

m_{0} = 40

мг, период полураспада

T = 5

минут. Через сколько минут масса станет

5

мг?

4.Число бактерий растёт по закону

N = N_{0} \cdot 2^{t / T},

N_{0} = 200,

T = 3

часа. Через сколько часов бактерий станет

1600 ?