Показательные уравнения — ЕГЭ профиль

Показательные уравнения (Задание 7)

Задание 7 открывает блок уравнений в первой части профильного ЕГЭ по математике. Оно проверяет умение решать базовые уравнения: показательные, логарифмические, иррациональные и другие.

Показательные уравнения - абсолютные лидеры этого номера. На них приходится значительная часть задач в этом задании. Это отличная новость, потому что решаются они буквально в два-три простых шага и приносят самый быстрый и надёжный первичный балл.

Суть темы

Показательное уравнение - это уравнение, в котором неизвестная переменная $x$ находится в показателе степени, а основание степени является заданным числом.

Главный принцип решения таких уравнений строится на строгом математическом свойстве: если основания равны, то и показатели степеней обязаны быть равны.

Двигай a и горизонталь y = c: при c > 0 она пересекает y = a^x ровно один раз, а при c ≤ 0 пересечений нет

Основные формулы

Чтобы успешно справляться с заданием 7, не нужно знать сложные методы. Достаточно уверенно применять базовые свойства степеней.

ВАЖНОЕ

Главное правило показательных уравнений

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟹ f (x) = g (x)

(при условии, что $a > 0$ и $a \neq = 1$ )

Для того чтобы привести левую и правую части уравнения к одинаковому основанию $a,$ тебе потребуются следующие свойства:

ВАЖНОЕ

Отрицательный показатель степени

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} и (\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}

ВАЖНОЕ

Степень в степени

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

ВАЖНОЕ

Умножение и деление степеней

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} и \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

Алгоритм решения

Все показательные уравнения из первой части сводятся к одному и тому же алгоритму.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения простейшего показательного уравнения

1. Определи общее основание. Посмотри на левую и правую части уравнения. Найди число, степенями которого являются оба основания. Обычно это простые числа: $2, 3, 5$ или $7 .$
2. Приведи обе части к этому основанию. Замени числа их степенными эквивалентами (например, $125$ замени на $5^{3},$ а $\frac{1}{16}$ на $2^{- 4}$ ). Если нужно, раскрой скобки в показателе с помощью свойства $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} .$
3. Отбрось основания. Как только слева и справа стоят выражения вида $a^{\dots} = a^{\dots},$ приравняй показатели степеней.
4. Реши полученное уравнение. Обычно получается простейшее линейное уравнение, реже - квадратное. Найди $x .$
5. Сделай проверку. Подставь найденный $x$ в самое первое уравнение и убедись, что получается верное числовое равенство.

Примеры решения

Расположим задачи от самых простых к тем, где легко запутаться в знаках.

ПРИМЕР 1

Классическое уравнение

Условие:
Найдите корень уравнения $5^{2 - x} = 125 .$

ПРИМЕР 2

Уравнение с дробью

Условие:
Найдите корень уравнения $2^{x - 3} = \frac{1}{16} .$

ПРИМЕР 3

Уравнение с переворотом дроби

Условие:
Найдите корень уравнения $(\frac{1}{6})^{x - 2} = 6^{x} .$

Что запомнить

Чтобы не тратить драгоценное время на экзамене, выучи наизусть степени базовых чисел. Это мощно ускорит твои вычисления не только в 7 задании, но и в логарифмах, и в текстовых задачах.

✓СОВЕТ

Таблица степеней, которую нужно знать

Степени двойки: $2^{2} = 4, 2^{3} = 8, 2^{4} = 16, 2^{5} = 32, 2^{6} = 64, 2^{7} = 128, 2^{8} = 256, 2^{9} = 512, 2^{10} = 1024 .$
Степени тройки: $3^{2} = 9, 3^{3} = 27, 3^{4} = 81, 3^{5} = 243 .$
Степени четвёрки: $4^{2} = 16, 4^{3} = 64, 4^{4} = 256 .$
Степени пятёрки: $5^{2} = 25, 5^{3} = 125, 5^{4} = 625 .$
Степени шестёрки: $6^{2} = 36, 6^{3} = 216 .$

Частые ошибки

Самое обидное в задании 7 - потерять балл из-за спешки при выполнении базовых арифметических действий.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между степенью и умножением

Ошибка: При виде уравнения $3^{x} = 27$ в голове срабатывает мысль «27 делится на 3, это 9», и записывается переход $3^{x} = 3^{9} .$
Правильно: Число $27$ - это тройка, умноженная сама на себя три раза: $3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} .$ Значит, $3^{x} = 3^{3} ⟹ x = 3 .$ Всегда проговаривай про себя: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить это число?».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака минус при раскрытии скобок

Ошибка: При переходе от $(\frac{1}{2})^{x - 4} = 2^{x}$ записывать $- x - 4 = x .$ Минус перед скобкой относится ко всему выражению в показателе.
Правильно: $(2^{- 1})^{x - 4} = 2^{- 1 \cdot (x - 4)} = 2^{- x + 4} .$ Знаки внутри показателя должны поменяться на противоположные!

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 7

Время выполнения: 2-3 минуты.
Очерёдность: Решай это задание в самом начале экзамена. Это отличная возможность «разогреть» мозг простыми вычислениями и почувствовать уверенность.
Самопроверка: Обязательно подставь полученный ответ в изначальное условие. Проверка занимает 10 секунд, но гарантированно спасает от вычислительных ошибок и знаковых ляпов. Если подставил корень и левая часть не совпала с правой - перерешай.
Формат ответа: Убедись, что ответ является целым числом или конечной десятичной дробью (например, $2, 5$ ). Если получилась дробь вида $\frac{1}{3},$ ищи ошибку.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен корень уравнения

3^{x} = 81 ?

2.Как представить

\frac{1}{32}

в виде степени двойки?

3.Найди корень уравнения

5^{2 - x} = 125 .

4.Чему равно

(6^{- 1})^{x - 2} ?