Показательные уравнения — ЕГЭ профиль

Показательные уравнения (Задание 14)

Показательные уравнения в задании 14 встречаются примерно в трети вариантов. В отличие от простых задач первой части, здесь уравнения редко решаются в один шаг. Как правило, тебе нужно будет применить свойства степеней, сделать замену переменной, решить квадратное уравнение, а затем вернуться к исходной переменной.

Самый популярный гибрид на ЕГЭ - это показательно-тригонометрические уравнения, где показатель степени содержит синус или косинус.

Основные формулы

Для успешного решения нужно уверенно владеть свойствами степеней. Именно на них строится приведение уравнения к удобному виду перед заменой.

ВАЖНОЕ

Свойства степеней

Для любого положительного $a$ и любых $x, y :$

1. Умножение с одинаковым основанием: $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$
2. Деление с одинаковым основанием: $\frac{a ^{x}}{a ^{y}} = a^{x - y}$
3. Возведение степени в степень: $(a^{x})^{y} = a^{x \cdot y}$
4. Отрицательная степень: $a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$

ВАЖНОЕ

Смысл показательной функции

Для любого $a > 0$ выражение $a^{f (x)}$ всегда строго больше нуля.
Если при решении ты получаешь $a^{f (x)} = - 5$ или $a^{f (x)} = 0,$ такое уравнение не имеет корней.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать показательное уравнение во второй части

1. Приведи всё к одному основанию. Избавься от сложения в показателях: распиши $a^{x + c}$ как $a^{x} \cdot a^{c} .$
2. Сделай замену переменной. Пусть $t = a^{x}$ (или $t = a^{s i n x}$ ). Обязательно укажи ограничение: $t > 0 .$
3. Реши полученное уравнение относительно $t .$ Чаще всего это обычное квадратное уравнение. Корни, которые $⩽ 0,$ сразу отбрасывай.
4. Сделай обратную замену. Приравняй показательное выражение к найденным положительным значениям $t .$
5. Реши простейшие уравнения. Найди $x .$ Если в показателе была тригонометрия, запиши серии корней с периодом ( $+ 2 π k$ ).
6. Выполни отбор корней (пункт б). Используй тригонометрическую окружность, двойное неравенство или перебор целых $k .$

Потяни угол θ по окружности и посмотри, где на ней лежат серии корней

Примеры решения

Ниже три задачи от простых к сложным. Первый пример покажет классическую замену, второй - работу с тригонометрией в показателе, а третий - коварную задачу с ограничениями (ОДЗ).

ПРИМЕР 1

Классическое показательное уравнение

Условие:
а) Решите уравнение $9^{x} - 4 \cdot 3^{x + 1} + 27 = 0 .$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[lo g_{2} 3; lo g_{2} 10] .$

ПРИМЕР 2

Показательно-тригонометрическое уравнение

Условие:
а) Решите уравнение $4 \cdot 1 6^{s i n x} - 9 \cdot 4^{s i n x} + 2 = 0 .$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2 π; \frac{7 π}{2}] .$

ПРИМЕР 3

Дробь, показательная функция и ОДЗ

Условие:
а) Решите уравнение $\frac{4 ^{s i n 2 x} - 2 ^{22 c o s x}}{- sin x} = 0 .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3 π}{2}; 3 π] .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Разложение суммы в показателе

Ошибка: $3^{x + 1}$ превратить в $3^{x} + 3^{1} .$
Правильно: При сложении в показателе основания умножаются: $3^{x + 1} = 3^{x} \cdot 3^{1} = 3 \cdot 3^{x} .$ А при вычитании - делятся: $3^{x - 1} = \frac{3 ^{x}}{3} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Несуществующие корни тригонометрического уравнения

Ошибка: Получив после обратной замены $3^{c o s x} = 9,$ решить $3^{c o s x} = 3^{2} ⟹ cos x = 2,$ и радостно написать $x = \pm arccos (2) + 2 π k .$
Правильно: Косинус не может быть больше $1 .$ Уравнение $cos x = 2$ просто не имеет решений. Это нормально, просто напиши «нет решений» и переходи к другому корню $t .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 15-20 минут.
Очерёдность: Задание 14 - это «дверь» во вторую часть. Решай его сразу после проверки первой части. Оно алгоритмично и приносит самые верные баллы.
Проверка: Найдя корни в пункте «а», подставь самый простой из них (например, при $k = 0$ ) в исходное уравнение. Если получилось верное равенство - значит, знак нигде не потерян.
Оформление пункта «б»: Если используешь окружность - обязательно нарисуй её, заштрихуй дугу отрезка, отметь границы, поставь точки корней и подпиши их числовые значения. Отбор «в уме» оценивается в 0 баллов за пункт б.

За что дают баллы

Максимум за задание 14 можно получить 2 первичных балла.

2 балла: Обоснованно получен верный ответ в обоих пунктах. Все шаги логичны, отбор корней показан явно (рисунком, неравенством или перебором).
1 балл: Возможны две ситуации:
1. Пункт «а» решён абсолютно верно, но в пункте «б» допущена ошибка в вычислениях или отбор произведён без обоснования (просто написан ответ).
2. Допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2 + 3 = 6$ ) в пункте «а», но с этим неверным числом логически безупречно дорешаны оба пункта (при условии, что ошибка не упростила задачу - например, тригонометрическое уравнение не превратилось в $cos x = 2$ ).
0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев (ошибка в формуле приведения, потеря ОДЗ, неверная замена). Голый правильный ответ без решения также даёт 0 баллов.

Проверь себя0 из 4

1.Делаешь замену

t = 3^{x} .

Какое ограничение обязательно нужно указать?

2.Чему равно

3^{x + 1} ?

3.После замены получилось

a^{f (x)} = - 5 .

Что это значит?

4.Уравнение

cos x = 2

после обратной замены. Твои действия?