Показательные неравенства — ЕГЭ профиль

Показательные неравенства (Задание 16)

Задание 16 проверяет умение решать сложные неравенства. Показательные неравенства - вторая по частоте тема этого номера (около трети всех задач). Их главная особенность - неизвестная $x$ стоит в показателе степени, а в самом примере часто намешаны дроби, многочлены и разные основания.

Для успешного решения нужно уверенно владеть свойствами степеней, методом замены переменной и обобщённым методом интервалов.

Основные формулы

Любое показательное неравенство опирается на свойства степеней и правило монотонности показательной функции.

ВАЖНОЕ

Свойства степеней

Для любых положительных оснований $a$ и $b$ выполняются тождества:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

(a^{m})^{n} = a^{mn} a^{x} \cdot b^{x} = (ab)^{x}

Именно эти формулы позволяют «расщеплять» степени вида $3^{x + 2}$ на $3^{x} \cdot 9$ для последующей замены.

ВАЖНОЕ

Монотонность показательной функции

Решение простейшего неравенства $a^{f (x)} ⩾ a^{g (x)}$ зависит от основания $a :$

Если $a > 1,$ функция возрастает. Знак неравенства сохраняется: $f (x) ⩾ g (x) .$
Если $0 < a < 1,$ функция убывает. Знак неравенства меняется на противоположный: $f (x) ⩽ g (x) .$

Потяни a и посмотри, почему при a>1 знак сохраняется, а при 0<a<1 — меняется

ВАЖНОЕ

Знак разности степеней (рационализация)

Знак выражения $a^{f (x)} - a^{g (x)}$ на всей области определения совпадает со знаком:

(a - 1) (f (x) - g (x))

Частный случай - сравнение с единицей: знак $a^{f (x)} - 1$ совпадает со знаком $(a - 1) \cdot f (x) .$

Эта формула - короткий путь: не переходишь к показателям с разбиением на случаи, а сразу получаешь рациональный множитель.

iЗАМЕЧАНИЕ

Сравнение с числом

Если нужно решить $a^{f (x)} ⩾ b,$ число $b$ можно представить как степень через основное логарифмическое тождество: $b = a^{l o g_{a} b} .$
Тогда неравенство принимает вид $a^{f (x)} ⩾ a^{l o g_{a} b},$ и можно переходить к показателям по правилу монотонности.

Алгоритм решения

Все показательные неравенства на ЕГЭ сводятся к двум основным сценариям: замена переменной (когда основание одно) или разложение на множители (когда оснований несколько или есть алгебраическая часть).

АЛГОРИТМ

Алгоритм: Метод замены переменной

1. Приведи степени к одному основанию. Разбей показатели с суммами: $a^{x + c} = a^{x} \cdot a^{c} .$ Если есть $a^{2 x}$ - это $(a^{x})^{2} .$
2. Выпиши ограничения. Знаменатели исходного неравенства не должны обращаться в ноль.
3. Сделай замену. Введи новую переменную $t = a^{x} .$ Обязательно укажи ограничение: $t > 0 .$
4. Реши рациональное неравенство. Перенеси всё в одну сторону, приведи дроби к общему знаменателю. Найди нули числителя и знаменателя, нанеси их на числовую ось $t .$
5. Учти условие $t > 0 .$ Заштрихуй область левее нуля и не рассматривай её. Выбери промежутки, удовлетворяющие знаку неравенства.
6. Сделай обратную замену. Для каждого найденного интервала запиши простейшие показательные неравенства ( $t ⩾ \dots$ или $\dots ⩽ t ⩽ \dots$ ) и реши их.

Если в неравенстве одновременно присутствуют многочлены от $x$ и показательные выражения (например, числитель показательный, а знаменатель алгебраический), замена не сработает - нужен обобщённый метод интервалов:

1. Разложи числитель и знаменатель на множители (часто помогает группировка: $a^{x} \cdot b^{x} = (ab)^{x}$ ).
2. Найди нули числителя (закрашенные точки) и нули знаменателя (выколотые точки).
3. Нанеси их на ось $x$ в правильном порядке. Если среди нулей есть $lo g_{a} b,$ оцени его значение через простые степени.
4. Определи знак всего выражения на крайнем правом интервале, подставив большое число. На остальных интервалах знак чередуется (при условии, что все множители входят в первой степени).

Примеры решения

Разберём три задачи от простых алгоритмичных к более комплексным.

ПРИМЕР 1

Классическая замена

Решите неравенство:

\frac{3}{4 ^{x} - 16} ⩾ \frac{1}{4 ^{x} - 4}

ПРИМЕР 2

Отрицательный дискриминант после замены

Решите неравенство:

\frac{9 ^{x + 0, 5} - 4 \cdot 3 ^{x} + 1}{3 ^{x} - 3} ⩾ 3^{x}

ПРИМЕР 3

Группировка и метод интервалов

Решите неравенство:

\frac{1 0 ^{x} - 2 ^{x + 1} - 5 ^{x + 1} + 10}{x ^{2} - 3 x - 4} ⩽ 0

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Игнорирование условия

t > 0

Ошибка: Получить после замены дробь $\frac{t + 3}{t - 1} ⩽ 0,$ нанести на ось точки $- 3$ и $1$ и записать в ответ интервал $[- 3; 1) .$ А при обратной замене получить $4^{x} ⩾ - 3$ и не понять, что с этим делать.

Правильно: Сразу после замены прописывай $t > 0 .$ Множитель $t + 3$ на области $t > 0$ всегда строго положителен - его можно смело отбросить (либо штриховать на оси всё левее нуля). Верный интервал: $0 < t < 1 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря знака при основании

0 < a < 1

Ошибка: При решении неравенства $(\frac{1}{3})^{x} > \frac{1}{9}$ перейти к показателям как $x > 2 .$

Правильно: Основание $\frac{1}{3} < 1$ - функция убывает. Чем больше показатель, тем меньше результат. При отбрасывании оснований знак неравенства меняется на противоположный: $x < 2 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря ОДЗ в исходном неравенстве

Ошибка: Решая $\frac{2 ^{x} + 1}{2 ^{x} - 8} ⩾ 0,$ не выписать условие $2^{x} \neq = 8,$ то есть $x \neq = 3 .$ После замены выколотая точка сама «теряется» в итоговом ответе.

Правильно: Сначала выпиши ограничения на исходные знаменатели: $2^{x} \neq = 8 ⟺ x \neq = 3 .$ После решения проверь, что эта точка действительно исключена из ответа.

Что запомнить

Своди все степени к одному основанию (если это замена) или группируй (если оснований два).
При замене $t = a^{x}$ всегда прописывай $t > 0 .$ Это спасёт от лишней работы с посторонними корнями.
Если квадратный трёхчлен после замены имеет $D < 0,$ он всегда сохраняет знак старшего коэффициента (обычно положителен, значит весь трёхчлен $> 0$ ).
Дробное неравенство с показателями решается так же, как обычное рациональное - обобщённым методом интервалов.
Логарифмы - полноправные числа. Если корень получается в виде $lo g_{3} 7,$ не пугайся. Главное - верно оценить его примерное значение, чтобы поставить на числовую прямую.
Перед заменой выписывай ОДЗ исходного неравенства (знаменатели $\neq = 0$ ). Иначе потеряешь выколотые точки.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 16

Время выполнения: 15-20 минут.
Очерёдность: Задание 16 - часть «джентльменского набора» (14, 16, 17). Решай его сразу после задания 14 (уравнения).
Проверка ответа: Возьми по одному удобному числу из каждого полученного интервала (например, $0$ или $100$ ) и подставь в самое первое, исходное неравенство. Выполняется - знаки расставлены верно. Затем возьми число из отброшенного интервала: неравенство не должно выполняться. Особое внимание удели границам (круглые и квадратные скобки).
Когда стоит перепроверить: Если после замены корни квадратного уравнения получаются иррациональными, остановись. В задании 16 дискриминанты почти всегда извлекаются красиво. Ищи арифметическую ошибку на этапе приведения к общему знаменателю.
Оформление: Пиши слово «Ограничения» вместо «ОДЗ» (к аббревиатуре эксперты относятся строго). Рисуй ось для метода интервалов прямо в чистовике - это не украшение, а обязательная часть решения.

За что дают баллы

Задание 16 оценивается максимум в 2 балла:

2 балла. Обоснованно получен верный ответ. Логика решения корректна, все ограничения учтены.
1 балл. Одна из двух ситуаций:
1. Допущена ровно одна вычислительная ошибка (ошибка в арифметике при верной логике алгоритма), решение с этой ошибкой доведено до конца.
2. Ответ отличается от верного ровно одной точкой (например, выколотая точка записана как закрашенная из-за нуля знаменателя, либо потерян изолированный корень числителя).
0 баллов. Любая логическая ошибка: не поменял знак при основании $< 1,$ не учёл ограничение $t > 0,$ потерял нули знаменателя, ошибся в свойствах степеней. Также 0 баллов, если ответ отличается от верного более чем на одну точку или записан без обоснования.

Потеря одной скобки - это всё ещё 1 балл из 2. Но две потерянные точки - уже 0. Проверяй границы!

Проверь себя0 из 4

1.Как меняется знак неравенства при переходе от

(\frac{1}{2})^{f (x)} > (\frac{1}{2})^{g (x)}

к показателям?

2.Какое ограничение обязательно указать при замене

t = 3^{x} ?

3.Со знаком какого выражения совпадает знак разности

a^{f (x)} - a^{g (x)} ?

4.Квадратный трёхчлен

2 t^{2} - t + 1

имеет

D = - 7 < 0 .

Что это значит?