Задание 16: Финансовая математика | теория Математика (профиль) ЕГЭ

О задании

Задание 16 во второй части ЕГЭ - это текстовая задача с экономическим содержанием. Она проверяет умение переводить реальные жизненные ситуации (кредиты, банковские вклады, бизнес-планирование) на язык математики, составлять уравнения или неравенства и решать их.

Формат ответа: Развёрнутое решение с обоснованием каждого шага.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 2 первичных балла.

Какие темы встречаются

На ЕГЭ встречаются следующие сюжеты:

1. Кредиты - абсолютный лидер. Делятся на две основные схемы выплат:

Аннуитетные платежи (кредит гасится равными суммами).
Дифференцированные платежи (долг уменьшается на одну и ту же величину или по заданной таблице).

2. Оптимизация - задачи на поиск наибольшей прибыли или наименьших затрат при производстве или добыче ископаемых.
3. Вклады (редко) - задачи на капитализацию процентов и пополнение счёта.

Основные математические модели

В финансовых задачах критически важно правильно работать с процентами. Если банк начисляет $r %$ на сумму долга $S,$ то новая сумма долга вычисляется умножением на повышающий коэффициент.

Повышающий коэффициент

Если сумма увеличивается на $r %,$ её нужно умножить на коэффициент $k :$

k = 1 + \frac{r}{100}

Новая сумма долга: $S_{нов} = S \cdot k .$

Для двух главных схем кредитования существуют свои подходы.

Схема 1: Равные платежи (аннуитет)
Кредит гасится одинаковыми переводами (пусть платеж равен $X$ ).
Динамика долга выглядит так:

1 год: $(S \cdot k) - X$
2 год: $((S \cdot k) - X) \cdot k - X = S \cdot k^{2} - X \cdot k - X$
3 год: $S \cdot k^{3} - X \cdot k^{2} - X \cdot k - X$

Выплата кредита равными платежами

Для кредита на $n$ периодов с равным платежом $X$ долг после последней выплаты равен нулю. Уравнение принимает вид:

S \cdot k^{n} - X \cdot (k^{n - 1} + k^{n - 2} + \dots + k + 1) = 0

Выражение в скобках сворачивается по формуле суммы геометрической прогрессии:

S \cdot k^{n} - X \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1} = 0

Схема 2: Долг уменьшается равномерно (дифференцированная схема)
Слова-маркеры: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц/год».

В этой схеме остатки долга образуют арифметическую прогрессию с шагом $- \frac{S}{n},$ где $n$ - число периодов. На каждый остаток начисляются проценты, сумма которых и есть переплата. Удобнее считать не весь долг целиком, а именно переплату.

Сумма арифметической прогрессии

Пригодится для подсчёта переплат:

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

В общем случае сумма $n$ членов арифметической прогрессии с первым членом $a_{1}$ и последним $a_{n} :$

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

Переплата в дифференцированной схеме

Для кредита $S$ на $n$ периодов по ставке $r %$ общая переплата:

Π = \frac{r}{100} \cdot S \cdot \frac{n + 1}{2}

Общая сумма выплат банку равна $S + Π .$

Для задач на оптимизацию (максимум прибыли, минимум затрат) нужны инструменты из теории функций.

Максимум квадратичной функции

Если целевая функция $Π (x) = A x^{2} + B x + C$ - парабола ветвями вниз ( $A < 0$ ), то максимум достигается в вершине:

x_{v} = - \frac{B}{2 A}

Сама максимальная прибыль находится подстановкой $x_{v}$ обратно в $Π (x) .$

Условие максимума для целых значений

Если функция $f (n)$ задана только для целых $n$ (например, лет), её наибольшее значение достигается в такой точке $n,$ где выполнено:

{f (n) ⩾ f (n - 1) f (n) ⩾ f (n + 1)

Производную брать нельзя - функция определена только в точках-годах.

Общий алгоритм решения

Как решать экономическую задачу

1. Прочитай условие и определи тип. Найди слова-маркеры: «равные платежи» (аннуитет), «на одну и ту же величину меньше» (дифференцированная), «наибольшая прибыль» или «окупится за $n$ лет» (оптимизация).
2. Введи переменные.

Для кредитов: «Пусть $S$ - сумма кредита, $r$ - процентная ставка, $k = 1 + \frac{r}{100},$ $X$ - ежегодная выплата».
Для оптимизации: «Пусть $x$ - объём выпуска (или год продажи), $Π (x)$ - прибыль».

3. Составь математическую модель.

Для кредитов: нарисуй таблицу. Столбцы: номер периода, долг до начисления процентов, долг после начисления процентов, выплата, остаток долга.
Для оптимизации: выпиши функцию прибыли (или затрат) и определи, на каком множестве значений $x$ ищется максимум/минимум.

4. Запиши финальное уравнение или условие экстремума.

Для кредитов: долг после последней выплаты равен нулю, или известна общая сумма выплат.
Для оптимизации: $x_{v} = - \frac{B}{2 A}$ для квадратичной функции, или $f (n) ⩾ f (n \pm 1)$ для дискретной.

5. Вычисли. Считай аккуратно, не торопись умножать большие числа - сначала попытайся вынести общие множители и сократить дроби. В оптимизации обязательно проверь, что найденное значение целое (если этого требует условие).

Примеры

Разберём по одному примеру на каждую из трёх типовых тем: кредит с равными платежами, кредит с равномерным уменьшением долга и оптимизационную задачу.

Пример 1. Схема с равными платежами

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на $10%$ по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
кредит должен быть полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года).
Известно, что общая сумма выплат банку составила $3993000$ рублей. Какую сумму планировалось взять в кредит?

Показать решение

Пусть $S$ - исходная сумма кредита.
Процентная ставка $r = 10%,$ значит, повышающий коэффициент $k = 1 + \frac{10}{100} = 1, 1 .$
Пусть $X$ - ежегодный платёж. По условию кредит погашается тремя равными платежами, значит, общая сумма выплат равна $3 X .$
Составим уравнение: $3 X = 3993000,$ откуда $X = 1331000$ рублей.

Построим модель изменения долга. Для наглядности заполним таблицу: в каждой строке показываем долг в начале года, после начисления процентов ( $\times 1, 1$ ), а затем после выплаты $X$ (остаток на конец года).

Год	Долг в начале	После начисления $%$	Остаток после выплаты $X$
1	$S$	$1, 1 \cdot S$	$1, 1 S - X$
2	$1, 1 S - X$	$1, 1^{2} S - 1, 1 X$	$1, 1^{2} S - 1, 1 X - X$
3	$1, 1^{2} S - 1, 1 X - X$	$1, 1^{3} S - 1, 1^{2} X - 1, 1 X$	$1, 1^{3} S - 1, 1^{2} X - 1, 1 X - X$

В конце третьего года кредит полностью погашен, значит, остаток равен нулю:

S \cdot 1, 1^{3} - X (1, 1^{2} + 1, 1 + 1) = 0

Подставим известное значение $X$ и вычислим:

S \cdot 1, 331 - 1331000 \cdot (1, 21 + 1, 1 + 1) = 0

S \cdot 1, 331 = 1331000 \cdot 3, 31

Разделим обе части на $1, 331 :$

S = \frac{1 331 000 \cdot 3 , 31}{1 , 331} = 1000000 \cdot 3, 31 = 3310000

Ответ: $3310000$

Пример 2. Схема с равномерным уменьшением долга

В июле 2026 года планируется взять кредит на $1500$ тыс. рублей на $15$ месяцев. Условия возврата таковы:

$1$ -го числа каждого месяца долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
со $2$ -го по $14$ -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
$15$ -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$ -е число предыдущего месяца;
к $15$ -му числу $15$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r,$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1860$ тыс. рублей.

Показать решение

Пусть $S = 1500$ тыс. рублей - сумма кредита, $n = 15$ - количество месяцев.
Долг уменьшается равномерно, значит, каждый месяц основное тело долга уменьшается на величину $\frac{S}{15} = \frac{1500}{15} = 100$ тыс. рублей.

Остатки долга по месяцам образуют убывающую арифметическую прогрессию:
$S, \frac{14 S}{15}, \frac{13 S}{15}, \dots, \frac{S}{15}, 0 .$

Каждая выплата состоит из двух частей: погашение основного долга (ровно $100$ тыс. рублей) и выплата начисленных за месяц процентов.
Общая сумма выплат равна сумме исходного кредита $S$ и общей суммы выплаченных процентов (переплаты).

Посчитаем переплату (сумму всех процентов). В месяце $m$ проценты начисляются на остаток долга с 15-го числа предыдущего месяца. Соберём данные в таблицу:

Месяц	Долг на начало (тыс. руб.)	Долг на 15-е число (тыс. руб.)	Проценты за месяц
1	$1500$	$1400$	$\frac{r}{100} \cdot 1500 = 15 r$
2	$1400$	$1300$	$\frac{r}{100} \cdot 1400 = 14 r$
3	$1300$	$1200$	$13 r$
...	...	...	...
14	$200$	$100$	$2 r$
15	$100$	$0$	$r$

Общая переплата - это сумма всех процентов из последнего столбца:

Π = 15 r + 14 r + 13 r + \dots + 2 r + r = r \cdot (15 + 14 + \dots + 1)

Сумма в скобках - это сумма арифметической прогрессии от 1 до 15:

15 + 14 + \dots + 1 = \frac{1 + 15}{2} \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120

Значит, переплата равна $Π = 120 r$ тыс. рублей.

По условию общая сумма выплат равна $1860$ тыс. рублей.
Общая сумма выплат = Кредит + Переплата:

1500 + 120 r = 1860

120 r = 360

r = 3

Ответ: $3$

Пример 3. Задача на оптимизацию

Строительство нового завода стоит $75$ млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на этом заводе равны $0, 5 x^{2} + 4 x + 7$ млн рублей в год. Если продукцию продавать по $p$ тыс. рублей за единицу, то годовая прибыль фирмы составит $Π (x) = p x - (0, 5 x^{2} + 4 x + 7)$ млн рублей.

Каждый год фирма будет выпускать такой объём продукции, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем целом значении $p$ строительство завода окупится не более чем за $3$ года?

Показать решение

1. Найдём максимальную годовую прибыль.
Раскроем скобки в функции прибыли:

Π (x) = - 0, 5 x^{2} + (p - 4) x - 7

Это квадратичная функция относительно $x,$ коэффициент при $x^{2}$ отрицательный ( $- 0, 5$ ), значит парабола ветвями вниз. Максимум достигается в вершине:

x_{v} = - \frac{B}{2 A} = - \frac{p - 4}{2 \cdot ( - 0 , 5 )} = p - 4

Подставим $x_{v} = p - 4$ обратно в $Π (x) :$

Π_{ma x} = - 0, 5 (p - 4)^{2} + (p - 4) (p - 4) - 7 = 0, 5 (p - 4)^{2} - 7

2. Составим условие окупаемости за 3 года.
Суммарная прибыль за 3 года должна быть не меньше стоимости завода:

3 \cdot Π_{ma x} ⩾ 75

3 \cdot (0, 5 (p - 4)^{2} - 7) ⩾ 75

3. Решим неравенство относительно $p .$
Разделим на $3$ и упростим:

0, 5 (p - 4)^{2} - 7 ⩾ 25

0, 5 (p - 4)^{2} ⩾ 32

(p - 4)^{2} ⩾ 64

Цена положительна, значит $p - 4 > 0 :$

p - 4 ⩾ 8 ⟹ p ⩾ 12

Наименьшее целое значение: $p = 12 .$

Ответ: $12$

Частые ошибки

Преждевременное вычисление степеней

Ошибка: Считать $(1, 1)^{4}$ столбиком в самом начале решения задачи, получать огромные дробные числа и теряться в расчётах.
Правильно: Сохраняй буквенные выражения (например, $k^{4}$ ) до самого последнего шага. Вырази искомую переменную, и только в самом конце подставляй числа. Очень часто в дробях всё сокращается.

Путаница между «выплатой» и «долгом»

Ошибка: Приравнивать фразу «долг уменьшается на одну и ту же величину» к фразе «кредит гасится равными выплатами».
Правильно: Это две кардинально разные схемы!
Если равные выплаты - это аннуитет (долг убывает по кривой).
Если долг уменьшается равномерно - это дифференцированная схема (выплаты каждый месяц разные, они уменьшаются к концу срока).

Неверное число начислений процентов

Ошибка: В задаче сказано «кредит погашается тремя платежами», и ученик пишет в уравнении $S \cdot k^{2}$ (вместо $k^{3}$ ), рассуждая так: «между платежами два интервала».
Правильно: Проценты начисляются перед каждой выплатой. Если выплат $n,$ значит и начислений $n,$ то есть в уравнении должно стоять $k^{n} .$ Всегда сверяйся с условием: сначала начисление, потом выплата, повторить $n$ раз.

Стратегия на экзамене

Стратегия выполнения задания 16

Время выполнения: 15–25 минут.
Очерёдность: Одно из самых «прибыльных» заданий второй части. Приступай к нему сразу после решения первой части, уравнений (13) и неравенств (15).
Распознавание типа: По первым двум-трём предложениям условия определи, к какой группе относится задача: кредит (аннуитет/дифференцированный) или оптимизация (максимум прибыли/окупаемость). От этого зависит весь дальнейший инструментарий.
Проверка вычислений: Внимательно следи за нулями. Запиши в начале решения, в каких единицах ведёшь расчёт (в рублях, в тысячах или в миллионах), и не меняй их до конца.
Дроби вместо десятичных: Если ставка $r = 12, 5%,$ не используй коэффициент $1, 125 .$ Переведи его в обыкновенную дробь: $1 + \frac{12 , 5}{100} = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8} .$ Возводить в степень дробь $\frac{9}{8}$ гораздо проще, чем десятичную $1, 125 .$
Для оптимизации - проверь вершину: Если задача сводится к параболе, всегда подставляй найденный $x_{v}$ обратно в исходную функцию. Часто ученики находят $x_{v}$ и на этом останавливаются, а нужно ещё получить значение самой прибыли или составить неравенство окупаемости.

За что дают баллы

В этом задании очень щедрые критерии оценивания, которые позволяют получить баллы даже при плохом счёте.

2 балла - ставится за полностью верное решение с правильным ответом. Все шаги логически обоснованы, математическая модель построена верно.
1 балл - ставится, если верно построена математическая модель (записано правильное уравнение или система уравнений, связывающая все данные задачи), но дальше допущена обидная вычислительная ошибка, либо уравнение просто не дорешано до конца.
0 баллов - если модель не построена, или допущена ошибка в логике (например, перепутана схема кредитования).

Это означает, что написать таблицу или составить исходное уравнение нужно в любом случае! Даже если ты видишь, что не успеваешь досчитать эти огромные числа, оставь правильное уравнение на чистовике - это принесёт тебе 1 балл.