Показательные и логарифмические функции

Показательные и логарифмические функции (Задание 12)

Задание 12 проверяет умение работать с функциями и их графиками. Показательные и логарифмические функции встречаются здесь примерно в 30% случаев. Это стабильные и предсказуемые задачи, которые приносят лёгкий балл в первой части экзамена (ответом всегда будет целое число или конечная десятичная дробь).

Твоя главная цель в таких задачах - по внешнему виду графика определить неизвестное основание $a\text{,}$ восстановить полное уравнение функции и затем вычислить её значение в заданной точке.

Суть темы и основные формулы

Показательная и логарифмическая функции - это две стороны одной медали, они являются взаимно обратными: если $y=a^x\text{,}$ то $x={\log }_{a}y\text{.}$ Именно поэтому их графики симметричны относительно прямой $y=x\text{.}$ Это свойство помогает быстро проверять себя: если ты уверен в графике показательной, то отражением получишь график логарифмической с тем же основанием.

ВАЖНОЕ

Показательная функция

Уравнение имеет вид $f(x)=a^x\text{,}$ где $a>0$ и $a\ne 1\text{.}$

• Область определения: $x\in \mathbb{R}$ (любые числа).
• Область значений: $y>0$ (график всегда лежит строго выше оси X).
• Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось X). График бесконечно приближается к ней, но никогда не пересекает.
• Ключевая точка: всегда проходит через $(0;1)\text{,}$ так как $a^0=1\text{.}$
• Вторая ключевая точка: проходит через $(1;a)\text{,}$ так как $a^1=a\text{.}$

Иногда в задании 12 попадаются функции со сдвигами. Их главный признак - асимптота, которая не совпадает с осью координат.

ВАЖНОЕ

Функции со сдвигами

Показательная со сдвигом по вертикали и коэффициентом:

$$y=a\cdot b^x+d$$

Горизонтальная асимптота: $y=d\text{.}$ График получается из базового $y=b^x$ сжатием/растяжением в $a$ раз и сдвигом вверх на $d\text{.}$

Логарифмическая со сдвигами:

$$y={\log }_b(x-c)+d$$

Вертикальная асимптота: $x=c\text{.}$ График получается сдвигом базового $y={\log }_{b}x$ вправо на $c$ и вверх на $d\text{.}$

Алгоритм решения

В задании 12 функции чаще всего даются в чистом виде, без сдвигов: $f(x)=a^x$ или $f(x)={\log }_{a}x\text{.}$ Но изредка встречается и сдвиг - тогда сначала считываешь сдвиг по асимптоте, а потом находишь основание по узловой точке.

Примеры решения задач

Разберём три примера от простого к более сложному. Обрати внимание на работу со степенями и отрицательными числами.

ПРИМЕР 1

Возрастающая показательная функция

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a^x\text{.}$ Найдите значение $f(4)\text{.}$

Частые ошибки

Что запомнить

1. Вид графика: Прижимается к горизонтальной прямой - показательная $a^x\text{.}$ Прижимается к вертикальной прямой - логарифмическая ${\log }_{a}x\text{.}$
2. Возрастание и убывание: Если график идёт вправо-вверх, то основание $a>1$ (например, $2\text{,}$ $3\text{,}$ $10$). Если идёт вправо-вниз, то основание $0<a<1$ (например, $0,5$ или $\frac{1}{3}$).
3. ОДЗ основания: Всегда $a>0$ и $a\ne 1\text{.}$
4. Асимптоты: Для базовой $y=a^x$ - $y=0\text{;}$ для $y={\log }_{a}x$ - $x=0\text{.}$ Сдвиг функции смещает её асимптоту: горизонтальная $y=d$ для $y=a\cdot b^x+d\text{,}$ вертикальная $x=c$ для $y={\log }_b(x-c)+d\text{.}$
5. Обратные функции: $a^x$ и ${\log }_{a}x$ взаимно обратны, их графики симметричны относительно $y=x\text{.}$

Стратегия на экзамене