Показательное распределение — ЕГЭ профиль

Показательное распределение (Задание 6)

Показательным (его же называют экспоненциальным) распределением описывают время до случайного события, которое ничем не подготовлено заранее: срок службы лампы, время до отказа насоса или банкомата, промежуток между звонками на горячую линию, время ожидания ответа оператора. Если в условии задания 6 сказано «время безотказной работы имеет показательное распределение» или прямо выписана плотность вида $λ e^{- λ x}$ - это наш сюжет.

Хорошая новость: весь счёт первой части здесь держится на двух выражениях и одном приёме со степенью. Длинных выкладок не будет.

Плотность, «хвост» и функция распределения

ВАЖНОЕ

Плотность

Распределение задаётся одним числом $λ > 0$ - его называют интенсивностью:

f (x) = λ e^{- λ x} при x ⩾ 0, f (x) = 0 при x < 0

График начинается на оси ординат в точке с высотой $λ$ и монотонно убывает, приближаясь к оси абсцисс, но никогда её не пересекая. Отрицательных значений у величины не бывает: время до отказа не может быть меньше нуля.

Плотность показательного распределения и вероятность «прожить дольше t»

iЗАМЕЧАНИЕ

Плотность - это не вероятность

Высота $f (x)$ вероятностью не является и вполне может быть больше единицы: при $λ = 2$ получаем $f (0) = 2 .$ Вероятность - это площадь под кривой, а не высота. Площадь всей области под графиком равна $1,$ поэтому чем круче спад, тем выше старт.

Из плотности получаются два выражения, которыми и решают задачи. Первое отвечает на вопрос «событие уже произошло?», второе - на вопрос «дожил ли?».

ВАЖНОЕ

Функция распределения и «хвост»

F (x) = P (X ⩽ x) = 1 - e^{- λ x}, P (X > x) = e^{- λ x}

Второе равенство - просто дополнение первого до единицы, но именно оно рабочее: почти все условия сформулированы через «проработает более $t$ ».

Функция распределения показательной величины

ВАЖНОЕ

Числовые характеристики

E (X) = \frac{1}{λ}, D (X) = \frac{1}{λ ^{2}}, σ (X) = \frac{1}{λ}

Показательное распределение - единственное в задании 6, у которого стандартное отклонение равно среднему: $σ (X) = E (X) .$ Это удобная самопроверка: нашёл $E$ - значит, знаешь и $σ .$

Приём, который решает половину задач: степень вместо экспоненты

В первой части ЕГЭ нельзя пользоваться калькулятором, поэтому само число $λ$ в задачах на «дожитие» находить не нужно и не требуется. Достаточно заметить, что $e^{- λ x}$ - это степень.

ВАЖНОЕ

Правило степени

P (X > k t) = (P (X > t))^{k}

Доказательство - одна строчка: $P (X > k t) = e^{- λk t} = (e^{- λ t})^{k} .$

Показатель $k$ не обязан быть целым. Если известна вероятность прожить $10$ суток, то вероятность прожить $5$ суток - это корень:

P (X > 5) = (P (X > 10))^{1/2} = P (X > 10)

Каждый отрезок длины t умножает вероятность на одно и то же число

Читать правило удобнее словами: каждый следующий промежуток той же длины умножает вероятность выживания на одно и то же число. Прожить два срока - значит прожить первый и потом ещё один такой же, а вероятности перемножаются.

Отсутствие последействия

ВАЖНОЕ

Отсутствие последействия

P (X > s + t ∣ X > s) = P (X > t)

Слева - вероятность того, что прибор, проработавший уже $s,$ проработает в сумме больше $s + t .$ Справа - вероятность того, что новый прибор проработает больше $t .$ Они равны.

Прибор, отработавший s, ничем не отличается от нового

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отработанное время вычитать, а не складывать

В условии обычно два числа: сколько прибор уже отработал и сколько должен проработать «ещё». В ответ идёт только второе. Фраза «отработал $12$ месяцев и проработает ещё более $18$ » - это $P (X > 18),$ а не $P (X > 30)$ и не $P (X > 6) .$

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на показательное распределение

1. Проверь, что распределение показательное. Признаки: слово «показательное» в условии либо плотность вида $λ e^{- λ x} .$
2. Пойми, что спрашивают. Среднее, дисперсия, стандартное отклонение - работаем через $λ .$ Вероятность «более $t$ » или «не более $t$ » - работаем через степень.
3. Если спрашивают характеристику, вытащи $λ$ из плотности (это множитель перед экспонентой, он же коэффициент в показателе) и подставь в $E = \frac{1}{λ},$ $D = \frac{1}{λ ^{2}},$ $σ = \frac{1}{λ} .$
4. Если спрашивают вероятность, обозначь через $q$ данную в условии вероятность «более $t$ » и вырази искомый срок как $k t .$ Ответ - это $q^{k} .$
5. Если прибор уже отработал, вычеркни отработанное время: считаем только добавку.
6. Проверь правдоподобие. Вероятность лежит между $0$ и $1;$ чем больше срок, тем меньше вероятность его пережить.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Характеристики по плотности

Условие:
Время ожидания ответа оператора службы поддержки (в минутах) имеет показательное распределение с плотностью $f (t) = 0, 2 e^{- 0, 2 t}$ при $t ⩾ 0$ и $f (t) = 0$ при $t < 0 .$ Найдите математическое ожидание времени ожидания. Ответ дайте в минутах.

ПРИМЕР 2

Целая степень

Условие:
Срок службы светодиодной лампы имеет показательное распределение. Вероятность того, что лампа проработает более $1000$ часов, равна $0, 8 .$ Найдите вероятность того, что лампа проработает более $3000$ часов.

ПРИМЕР 3

Дробная степень - корень

Условие:
Время безотказной работы банкомата имеет показательное распределение. Вероятность того, что банкомат проработает без сбоя более $10$ суток, равна $0, 64 .$ Найдите вероятность того, что он проработает без сбоя более $5$ суток.

ПРИМЕР 4

Прибор уже отработал

Условие:
Время безотказной работы насоса имеет показательное распределение. Вероятность того, что новый насос проработает без отказа более $6$ месяцев, равна $0, 9 .$ Насос уже отработал $12$ месяцев без отказа. Найдите вероятность того, что он проработает без отказа ещё более $18$ месяцев.

ПРИМЕР 5

Вопрос про «не более»

Условие:
Время ремонта устройства в мастерской имеет показательное распределение, в среднем ремонт занимает $20$ минут. Найдите вероятность того, что очередной ремонт займёт не более $20$ минут. Считайте, что $e^{- 1} = 0, 37 .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Правило

0, 63

Пример 5 даёт факт, который стоит запомнить: вероятность уложиться в одно среднее время у показательной величины всегда равна $1 - e^{- 1} \approx 0, 63$ - при любом $λ .$ Больше половины ремонтов заканчиваются быстрее среднего, а редкие затяжные случаи вытягивают среднее вверх.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Более

t

» перепутано с «не более

t

Ошибка: на вопрос «проработает более $t$ » подставляют $1 - e^{- λ t} .$
Правильно: «более» - это $e^{- λ t},$ «не более» - это $1 - e^{- λ t} .$ Быстрая проверка здравым смыслом: при огромном $t$ вероятность проработать дольше $t$ обязана быть близка к нулю. Формула $e^{- λ t}$ так себя и ведёт, а $1 - e^{- λ t}$ стремится к единице.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вместо степени - умножение или деление

Ошибка: из $P (X > 1000) = 0, 8$ получают $P (X > 3000) = 3 \cdot 0, 8 = 2, 4$ или $P (X > 3000) = \frac{0 , 8}{3} .$
Правильно: сроки складываются, а вероятности перемножаются, поэтому втрое больший срок даёт третью степень: $0, 8^{3} = 0, 512 .$ Первый вариант ловится мгновенно: вероятность не может быть больше $1 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Дисперсия вместо стандартного отклонения

Ошибка: записывают $σ (X) = \frac{1}{λ ^{2}},$ потому что «дисперсия и отклонение - примерно одно и то же».
Правильно: $D (X) = \frac{1}{λ ^{2}},$ а $σ (X) = D (X) = \frac{1}{λ} .$ У показательного распределения $σ$ совпадает со средним. При $λ = 0, 2$ выйдет $E = 5,$ $D = 25,$ $σ = 5$ - три разных числа, и путать их нельзя.

Что запомнить

Плотность $f (x) = λ e^{- λ x}$ при $x ⩾ 0;$ высота на старте равна $λ,$ площадь под всей кривой равна $1 .$
$P (X > t) = e^{- λ t}$ - «дожил», $P (X ⩽ t) = 1 - e^{- λ t}$ - «уже произошло». Эти два числа в сумме дают $1 .$
$E (X) = \frac{1}{λ},$ $D (X) = \frac{1}{λ ^{2}},$ $σ (X) = \frac{1}{λ};$ среднее и стандартное отклонение совпадают.
Правило степени: $P (X > k t) = (P (X > t))^{k} .$ Для $k$ целого - степень, для $k = \frac{1}{2}$ - квадратный корень.
Отсутствие последействия: уже отработанное время вычёркивается, остаётся только добавка.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 2-4 минуты. Из всех сюжетов задания 6 показательное распределение самое короткое по счёту.
Не ищи $λ$ без нужды. Если в условии дана готовая вероятность «более $t$ », параметр не понадобится: работай сразу со степенью.
Пиши $q$ вместо экспоненты. Обозначение $q = P (X > t)$ убирает страшный вид формул и превращает задачу в счёт вроде $0, 9^{3} .$
Считай степени столбиком по шагам: $0, 9^{3} = 0, 81 \cdot 0, 9 .$ Один шаг за раз - меньше шансов ошибиться в разряде.
Проверка ответа: вероятность обязана лежать между $0$ и $1$ и убывать с ростом срока. Если получилось число больше $1$ - использовали умножение вместо степени.

Проверь себя0 из 4

1.Плотность величины равна

f (x) = 0, 5 e^{- 0, 5 x}

при

x ⩾ 0 .

Чему равно

E (X) ?

2.Известно, что

P (X > 3) = 0, 6 .

Чему равно

P (X > 9) ?

3.Прибор с показательным сроком службы отработал

5

лет. Чему равна вероятность того, что он проработает ещё более

2

лет?

4.Какое равенство верно для показательного распределения?