Параболы на графиках
Задание 12 проверяет умение работать с графиками функций. Парабола - один из самых частых гостей в этом номере. По картинке нужно восстановить уравнение квадратичной функции, а затем найти её значение в точке или координаты точки пересечения с другим графиком. В ответ идёт целое число или конечная десятичная дробь.
Суть темы и основные формулы
Графиком квадратичной функции является парабола. Задать её можно тремя эквивалентными способами - каждый удобен в своей ситуации.
ВАЖНОЕ
Стандартный вид
f(x)=ax2+bx+cЧто отвечает каждый коэффициент:
- a - направление ветвей и ширина. a>0 - ветви вверх, a<0 - вниз. Чем больше ∣a∣, тем парабола уже.
- c - ордината точки пересечения с осью Y. Парабола пересекает ось ординат в (0;c).
- b - связан с положением вершины по горизонтали.
ВАЖНОЕ
Координаты вершины
Абсцисса вершины параболы y=ax2+bx+c:
xв=−2abОрдинату yв получишь подстановкой: yв=f(xв). Относительно прямой x=xв парабола симметрична.
В задании 12 удобнее двух других форм - они читаются с графика за секунды.
ВАЖНОЕ
Вершинный вид
Если вершина параболы лежит в точке (xв;yв):
f(x)=a(x−xв)2+yвЭта форма идеальна, когда вершина чётко попадает в узел сетки.
ВАЖНОЕ
Форма через нули
Если парабола пересекает ось X в точках x1 и x2:
f(x)=a(x−x1)(x−x2)Удобно, когда оба нуля видны на графике в узлах решётки.
✓СОВЕТ
Лайфхак для коэффициента a
Шаг от вершины на 1 клетку вправо меняет высоту параболы ровно на a клеток. Если парабола с вершиной в узле проходит через соседний узел на 1 клетку выше - a=1. Через соседний узел на 2 клетки выше - a=2. На полклетки ниже - a=−0,5.
Алгоритм решения
В большинстве задач нужно восстановить f(x) по жирным точкам графика, а затем посчитать f(x0) или найти пересечение с другим графиком.
АЛГОРИТМ
Как найти уравнение параболы по графику
1. Выбери форму записи. Вершина в узле сетки - бери вершинный вид f(x)=a(x−xв)2+yв. Оба нуля в узлах - бери f(x)=a(x−x1)(x−x2). Иначе записывай стандартный вид и решай систему из трёх уравнений.
2. Подставь вершину или нули. В уравнении остаётся одно неизвестное - коэффициент a.
3. Найди a через любой другой жирный узел. Подставь его координаты и реши линейное уравнение.
4. Раскрой скобки, если нужно. Это требуется, только если a, b, c спрашиваются по отдельности.
5. Ответь на вопрос. Подставь x0 для вычисления значения или приравняй f(x)=g(x) для точки пересечения.
Примеры решения задач
Три типовых сюжета: значение функции в точке, пересечение параболы с прямой, пересечение двух парабол.
ПРИМЕР 1
Значение функции по графику
На рисунке изображён график функции вида f(x)=ax2+bx+c. Найди значение f(−6).
✓СОВЕТ
Не спеши раскрывать скобки
Если задача просит f(x0), подставь x0 прямо в вершинный вид - одна скобка в квадрат, одно вычитание, готово. Стандартный вид с bx+c нужен, только если буквы a, b, c спрашиваются по отдельности.
ПРИМЕР 2
Пересечение параболы и прямой
На рисунке изображены графики функций f(x)=ax2+bx+c и g(x)=kx, пересекающиеся в точках A и B. Точка A видна на рисунке. Найди абсциссу точки B.
Следующий пример чуть сложнее: пересекаются две параболы.
ПРИМЕР 3
Пересечение двух парабол
На рисунке изображены графики функций f(x)=ax2+bx+c и g(x)=px2+qx+r, пересекающиеся в точках A и B. Точка A имеет координаты (1;0). Найди абсциссу точки B.
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Минус в формуле вершины
Ошибка: Написать xв=2ab без минуса.
Правильно: xв=−2ab. Без минуса вершина «уедет» в зеркальную сторону по оси X, и все коэффициенты получатся неверными.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Коэффициент a на глаз
Ошибка: Подумать, что на графике стандартная парабола y=x2 (то есть a=1), даже не проверив узлы сетки.
Правильно: Всегда вычисляй a аналитически через подстановку. В ЕГЭ часто встречаются параболы с a=0,5, a=−2, a=1,5 - визуально они очень похожи на стандартную.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Путаница знаков в вершинном виде
Ошибка: Для вершины (−2;−3) написать f(x)=a(x−2)2−3 (забыть, что в формуле (x−xв), а xв=−2).
Правильно: f(x)=a(x−(−2))2+(−3)=a(x+2)2−3. Проверь на координатах вершины: подстановка x=xв должна обнулить скобку и дать f(xв)=yв.
Что запомнить
- Три формы записи квадратичной функции: стандартная ax2+bx+c, вершинная a(x−xв)2+yв, через нули a(x−x1)(x−x2). Выбирай ту, где всё в узлах.
- Абсцисса вершины: xв=−2ab.
- Коэффициент c - ордината точки пересечения с осью Y.
- Шаг от вершины на 1 вправо меняет высоту ровно на a клеток.
- В задачах на пересечение графиков один корень уравнения f(x)=g(x) уже известен по рисунку - это самопроверка.
- Абсцисса - это x, ордината - это y.
Стратегия на экзамене
✓СОВЕТ
Стратегия
- Ориентировочное время: 5-8 минут.
- Очерёдность: Решай в первую половину экзамена. Задание алгоритмичное, но требует аккуратного счёта.
- Опорные точки: Бери только жирно выделенные узлы решётки. Точка «на глаз» в миллиметре от перекрестья клеток даст неверный a и весь ответ.
- Самопроверка: После нахождения уравнения подставь в него координаты третьей (контрольной) узловой точки, которую не использовал при выводе. Совпало - уравнение верное.
- Пересечение графиков: Один из корней уравнения f(x)=g(x) обязан совпасть с абсциссой точки A, координаты которой даны. Не совпадает - ищи ошибку.
Проверь себя0 из 4
1.Чему равна абсцисса вершины параболы y=ax2+bx+c?
2.Вершина параболы лежит в точке (−3;1). Какой вершинный вид верен?
3.Что показывает коэффициент c в записи y=ax2+bx+c?
4.Парабола с вершиной в узле сетки проходит через соседний узел на 1 клетку правее и на 2 клетки выше вершины (масштаб единичный). Чему равен коэффициент a?