Оптимизация производства — ЕГЭ профиль

Оптимизация производства (Задание 17)

Задание 17 - первая задача второй части и первая, где мало назвать число: решение надо записать и обосновать. Декорации производственные: цех, завод, склад. Дана связь между деньгами и одной управляемой величиной (выпуском, ценой, размером партии), и спрашивают, при каком её значении прибыль наибольшая или расходы наименьшие. Аппарат знаком по девятому номеру: производная и вершина параболы. Новое - обёртка: функцию надо собрать самому, границы её смысла очертить самому, а в конце вернуться из математики в цех и в рубли.

Три модели, три вопроса

Сюжетов много, а функций по сути три. Различай их по вопросу, а не по декорациям.

ВАЖНОЕ

Прибыль: выручка минус затраты

P (x) = R (x) - C (x), R (x) = p \cdot x

$p$ - цена единицы, $C (x)$ - затраты на выпуск $x$ единиц. При квадратичных затратах $C (x) = a x^{2} + b x + c$ прибыль оказывается параболой ветвями вниз, и у неё есть максимум.

Прибыль - вертикальный зазор между выручкой и затратами

Зазор между прямой выручки и параболой затрат шире всего там, где касательная к затратам параллельна прямой выручки, то есть где $C^{'} (x) = p .$ Это и есть условие $P^{'} (x) = 0 :$ пока очередная единица обходится дешевле, чем продаётся, выпуск выгодно наращивать.

ВАЖНОЕ

Себестоимость единицы

S (x) = \frac{C ( x )}{x}

Для $C (x) = a x^{2} + b x + c$ выходит $S (x) = a x + b + \frac{c}{x} :$ одно слагаемое растёт, другое убывает - значит, есть минимум. Постоянные затраты $c$ размазываются по всё большему выпуску, но переменные $a x$ их догоняют.

ВАЖНОЕ

Расходы из двух встречных статей

F (x) = \frac{A}{x} + B x

Классика - поставка и хранение: чем крупнее партия, тем реже возят ( $\frac{A}{x}$ падает), но тем больше лежит на складе ( $B x$ растёт).

Где функция имеет смысл

iЗАМЕЧАНИЕ

Откуда берутся границы

Смысл величины. Выпуск неотрицателен: $x ⩾ 0;$ если $x$ в знаменателе - строго $x > 0 .$
Мощность. «Цех перерабатывает не более $6$ тонн в сутки» - это $x ⩽ 6 .$
Неотрицательность второй величины. Спрос $q (x) = 240 - 10 x$ отрицательным не бывает: $x ⩽ 24 .$
Смысл сюжета. Продавать дешевле закупочной цены бессмысленно.

Границы выписывай ДО дифференцирования: они решают, годится ли найденный корень и не лежит ли ответ на конце отрезка.

Как обосновать экстремум

Корень производной - ещё не ответ, а кандидат. Проверяющий ждёт довода, почему в этой точке максимум.

АЛГОРИТМ

Два законных довода

1. Знак производной. Найди $x_{0}$ из $P^{'} (x) = 0$ и покажи, что слева производная положительна, а справа отрицательна: функция росла и стала убывать - это максимум. Для минимума знаки наоборот, с минуса на плюс.
2. Вершина параболы. Для квадратичной функции довод короче и производная не нужна: старший коэффициент отрицателен - ветви вниз, вершина $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ и есть точка максимума.

Смена знака производной и есть обоснование

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Кандидат может не попасть в отрезок

Корень производной вне допустимого промежутка - значит, внутри экстремума нет: функция монотонна, и наибольшее значение лежит на конце. Задачу это не отменяет: определи знак производной на самом отрезке и возьми подходящий конец.

Вершина правее отрезка - наибольшее на его правом конце

Минимум суммы «растёт плюс падает»

Функции $S (x) = a x + b + \frac{c}{x}$ и $F (x) = \frac{A}{x} + B x$ устроены одинаково, и разбор знаков у них общий:

(a x + \frac{c}{x})^{'} = a - \frac{c}{x ^{2}} = \frac{a x ^{2} - c}{x ^{2}}

При $x > 0$ знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком $a x^{2} - c :$ слева от $x_{0} = \frac{c}{a}$ минус, справа плюс - обоснование минимума в одну строку. Заодно видно, что в этой точке слагаемые равны между собой: быстрая прикидка ответа до всякого дифференцирования.

Минимум там, где растущее слагаемое догнало убывающее

Так же считают склад: потребность $10000$ тонн в год, поставка стоит $20$ тысяч рублей, хранение - $10$ тысяч за тонну в год, средний запас равен половине партии. Тогда $F (x) = \frac{200 000}{x} + 5 x$ и минимум при $x = 200$ тоннах.

АЛГОРИТМ

Каркас развёрнутого решения

1. Обозначь переменную: «пусть $x$ - цена в тысячах рублей».
2. Собери функцию и приведи её к рабочему виду.
3. Выпиши допустимые значения, объяснив каждую границу одной фразой.
4. Найди производную и корни уравнения $f^{'} (x) = 0 .$
5. Обоснуй экстремум и проверь, попадает ли точка в допустимую область.
6. Досчитай и истолкуй ответ: не « $x = 20$ », а « $20$ гарнитуров в месяц».

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Наибольшая прибыль при квадратичных затратах

Условие:
Мебельная мастерская выпускает $x$ кухонных гарнитуров в месяц, мощность цеха ограничена: $0 ⩽ x ⩽ 25 .$ Затраты равны $C (x) = 3 x^{2} + 20 x + 200$ тысяч рублей, каждый гарнитур продаётся за $140$ тысяч рублей. При каком месячном выпуске прибыль мастерской будет наибольшей?

ПРИМЕР 2

Наименьшая себестоимость

Условие:
Небольшой завод выпускает $x$ тонн краски в сутки, $x > 0 .$ Суточные затраты завода равны $C (x) = 5 x^{2} + 40 x + 720$ тысяч рублей. Себестоимостью тонны называют отношение суточных затрат к массе выпущенной за сутки краски. Найдите наименьшую себестоимость тонны.

ПРИМЕР 3

Цена, спрос и прибыль

Условие:
Магазин продаёт велосипеды по цене $20$ тысяч рублей и продаёт $40$ штук в месяц. Маркетологи выяснили: снижение цены на каждую тысячу рублей добавляет $10$ покупателей в месяц. Закупочная цена велосипеда - $12$ тысяч рублей. При какой цене месячная прибыль магазина будет наибольшей?

ПРИМЕР 4

Когда вершина недостижима

Условие:
Цех по переработке овощей может переработать не более $6$ тонн сырья в сутки. При переработке $x$ тонн суточные затраты составляют $C (x) = x^{2} + 10 x + 24$ тысячи рублей, а выручка от переработки одной тонны сырья равна $30$ тысячам рублей. При каком суточном объёме переработки прибыль цеха будет наибольшей?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Максимум выручки вместо максимума прибыли

Ошибка: в задаче про цену и спрос максимизировать выручку $x \cdot q (x),$ а не прибыль $(x - c) \cdot q (x) .$
Правильно: это разные функции с разными вершинами. В примере 3 выручка $R (x) = x (240 - 10 x)$ наибольшая при цене $x = 12,$ а прибыль там ровно нулевая: цена совпала с закупочной.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Экстремум не обоснован

Ошибка: « $P^{'} (x) = 0$ при $x = 20,$ значит прибыль наибольшая» - и точка.
Правильно: корень производной сам по себе не отличает максимум от минимума. Нужна одна строка - знаки производной слева и справа либо «ветви вниз, вершина в $x = 20$ ». Более дешёвого балла в этом номере нет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Себестоимость перепутана с затратами

Ошибка: искать минимум $C (x)$ вместо минимума $\frac{C ( x )}{x} .$
Правильно: у $C (x) = a x^{2} + b x + c$ с положительными коэффициентами минимум на $x ⩾ 0$ - в нуле: завод, который ничего не делает, тратит только постоянные $c .$ Себестоимость - это затраты НА ЕДИНИЦУ.

✗НЕВЕРНО

Ответ дан не на тот вопрос

Спрашивают «при какой цене», а в ответе стоит сама прибыль; спрашивают «какова наименьшая себестоимость», а в ответе - объём выпуска. Обе величины уже посчитаны, ошибка чисто редакторская, а стоит балла. Перечитывай вопрос перед последней строкой.

КОРОТКО

Что запомнить

Три модели закрывают почти весь слот: прибыль $P = R - C$ на максимум, себестоимость $S = \frac{C ( x )}{x}$ и встречные расходы $F = \frac{A}{x} + B x$ - на минимум.
Границы выписывай до дифференцирования: смысл величины, мощность, неотрицательность спроса, смысл сюжета.
Обоснование обязательно: смена знака производной или «ветви вниз, вершина в $x_{0}$ ». Без него балл снимут даже при верном числе.
Корень производной вне отрезка - не тупик: функция монотонна, ответ на конце отрезка.
Для $a x + \frac{c}{x}$ минимум там, где слагаемые равны: $x = \frac{c}{a} .$
Последняя строка решения - интерпретация: тонны, рубли, штуки, а не « $x = 12$ ».

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: $20$ минут по спецификации. Вычислений мало, и время стоит тратить на аккуратную запись, а не на поиск экзотического метода.
Проверка соседями. Посчитай функцию в двух точках рядом с ответом: для параболы значения обязаны быть симметричными. В примере 1 $P (19) = P (21) = 997$ при $P (20) = 1000 .$
Единицы держи в голове. «Тысяч рублей» и «рублей» в одном решении - частый источник ответа, отличающегося в тысячу раз.
Пиши ответ словами. Решение читает человек: «прибыль наибольшая при выпуске $20$ гарнитуров в месяц» - законченная мысль, голое « $20$ » - нет.

Проверь себя0 из 5

1.Затраты цеха

C (x) = 2 x^{2} + 30 x + 200,

цена единицы

70 .

При каком выпуске прибыль наибольшая?

2.Себестоимость равна

S (x) = 3 x + 50 + \frac{300}{x}

при

x > 0 .

При каком выпуске она наименьшая?

3.Корень производной оказался за пределами допустимого отрезка. Что делать?

4.Товар продаётся по цене

x,

спрос при этой цене равен

q (x),

закупочная цена единицы -

c .

Чему равна прибыль?

5.Что, кроме вычислений, обязано быть в развёрнутом решении номера 17?