Описанные окружности и треугольники

В чистом виде тема встречается редко, но фактически присутствует в каждой задаче 18 про окружности: её центр, радиус или связь радиуса со стороной через теорему синусов. Владеешь описанной окружностью - закрываешь большой класс задач.

Что такое описанная окружность

Описанная окружность треугольника - единственная окружность, которая проходит через все три вершины. Такая окружность существует у любого треугольника, и её центр $O$ обладает ключевым свойством равноудалённости: $O A = O B = O C = R .$

Описанная окружность треугольника и её центр

iЗАМЕЧАНИЕ

Как найти центр

Центр $O$ лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам. Каждая точка серединного перпендикуляра к $A B$ равноудалена от $A$ и $B,$ к $B C$ - от $B$ и $C .$ В точке пересечения равны все три расстояния сразу - это и есть $R .$

Положение центра $O$ зависит от формы треугольника - это определяет, как выглядит конфигурация в задаче.

ВАЖНОЕ

Положение центра описанной окружности

Треугольник остроугольный - центр $O$ лежит внутри треугольника.
Треугольник прямоугольный - центр $O$ лежит на середине гипотенузы (гипотенуза является диаметром).
Треугольник тупоугольный - центр $O$ лежит вне треугольника, по другую сторону от наибольшей стороны, чем вершина тупого угла.

Основные формулы

Выбор формулы диктуется условием: угол и противолежащая сторона - теорема синусов; все три стороны - формула через площадь.

ВАЖНОЕ

Расширенная теорема синусов

Для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $A, B, C$ радиус описанной окружности связан с ними так:

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Удобная форма для вычисления: $R = \frac{a}{2 sin A} .$ Достаточно знать любую сторону и угол, лежащий напротив неё.

ВАЖНОЕ

Радиус через стороны и площадь

R = \frac{ab c}{4 S}

Если известны все три стороны, $S$ считается по формуле Герона с $p = \frac{a + b + c}{2} :$

S = p (p - a) (p - b) (p - c)

ВАЖНОЕ

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ B O C

Следствия, которые постоянно работают в задачах:

все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны;
вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $9 0^{\circ} .$

Двигай точку C по полуокружности: угол ACB, опирающийся на диаметр AB, остаётся прямым.

Полезные числовые соотношения

Две рабочие формулы, которые экономят время:

ВАЖНОЕ

Расстояние от центра до стороны

d (O, B C) = R \cdot ∣ cos A ∣

Модуль нужен потому, что для тупоугольного треугольника (при тупом $∠ A$ ) центр лежит по другую сторону от $B C .$

ВАЖНОЕ

Расстояние от вершины до ортоцентра

Для ортоцентра $H$ (точки пересечения высот):

A H = 2 R \cdot ∣ cos A ∣

Отсюда при $∠ A = 12 0^{\circ}$ сразу выходит $A H = R = A O$ - любимая конструкция составителей задач.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как действовать в задаче с описанной окружностью

1. Крупный чертёж, правильно размести центр. При тупом угле $O$ - снаружи треугольника.
2. Выпиши три равных радиуса: $O A = O B = O C = R .$ Сразу появляются три равнобедренных треугольника $A O B,$ $B O C,$ $C O A .$
3. Связывай углы. Центральный угол вдвое больше вписанного на ту же дугу.
4. Пункт «а». Почти всегда один из трёх сюжетов: равнобедренный треугольник из двух радиусов, вписанный угол равен половине центрального, или четыре точки лежат на одной окружности.
5. Пункт «б». Считай $R$ по теореме синусов (если дан противолежащий угол) или по $R = ab c / (4 S)$ (если даны все три стороны). Подставляй равенство из пункта «а».

Примеры решения

Три задачи от простой к сложной: разминка на $R = ab c / (4 S),$ распознавание прямоугольного треугольника через середину гипотенузы и полноценная задача 18 про тупой угол и ортоцентр.

ПРИМЕР 1

Вычисление радиуса по трём сторонам

Условие:
Стороны треугольника $A B C$ равны $A B = 13,$ $B C = 14,$ $C A = 15 .$ Найди радиус окружности, описанной около этого треугольника.

ПРИМЕР 2

Медиана, равная половине стороны

Условие:
В треугольнике $A B C$ точка $M$ - середина стороны $A C .$ Известно, что $B M = \frac{1}{2} A C .$
а) Докажи, что треугольник $A B C$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B .$
б) Найди радиус описанной окружности, если $A B = 6,$ $B C = 8 .$

ПРИМЕР 3

Ортоцентр и центр в тупоугольном треугольнике

Условие:
В треугольнике $A B C$ угол $A$ равен $12 0^{\circ} .$ Высоты $B M$ и $C N$ (проведённые из вершин $B$ и $C$ ) пересекаются в точке $H .$ Точка $O$ - центр окружности, описанной около $△ A B C .$
а) Докажи, что $A H = A O .$
б) Найди площадь треугольника $A H O,$ если $B C = 3,$ $∠ A B C = 1 5^{\circ} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неверное положение центра в тупоугольном треугольнике

Ошибка: Рисовать центр $O$ внутри треугольника при тупом угле. Из-за этого ломаются знаки углов, и пункт «а» не доказывается.
Правильно: Для тупого $∠ A$ центр $O$ лежит снаружи треугольника, по ту сторону от $B C,$ что противоположна $A .$ Ортоцентр $H$ тоже вне треугольника, но с той же стороны, где $A .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Смешивание описанной и вписанной окружностей

Ошибка: Ставить центр описанной окружности на пересечение биссектрис - это центр вписанной. Или применять формулу $S = p r,$ где требуется $R .$
Правильно: Центр описанной - пересечение серединных перпендикуляров, $R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{ab c}{4 S} .$ Центр вписанной - пересечение биссектрис, $r = \frac{S}{p} .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время: 25-35 минут на всю задачу 18. Если описанная окружность - ключ, распознать её стоит в первые 5 минут.
Сигналы-маркеры: В условии встречается «центр окружности, описанной около», «окружность, проходящая через три точки», «серединные перпендикуляры пересекаются в точке». Во всех случаях в деле описанная окружность и $R .$
Выбор формулы для $R :$ Дан угол и противолежащая сторона - теорема синусов (одна строчка решения). Даны все три стороны - $R = ab c / (4 S)$ через Герона.
Чертёж на тупой угол: Если в условии угол $⩾ 9 0^{\circ},$ сразу помечай: $O$ - снаружи. Это сэкономит минуты на перерисовку.
Пункты независимы: Если не получается доказать пункт «а» - сформулируй его как «пусть $A H = A O$ » и получи вычислительный балл за «б». Это законный путь к 1 баллу.

За что дают баллы

За задание 18 - от 0 до 3 баллов:

3 балла: Пункт «а» доказан строго, пункт «б» посчитан верно. Каждый шаг обоснован теоремой или свойством.
2 балла: Пункт «а» верен, в пункте «б» арифметическая ошибка при верной логике. Или пункт «а» не решён, но пункт «б» решён безукоризненно своим путём, без опоры на недоказанное.
1 балл: Доказан только пункт «а». Или пункт «б» решён верно с использованием утверждения из «а» как данности.
0 баллов: Нет верных математических продвижений. Голый ответ без вычислений - тоже 0.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равно отношение

\frac{a}{sin A}

в любом треугольнике по расширенной теореме синусов?

2.Где лежит центр описанной окружности прямоугольного треугольника?

3.Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Чему равен радиус описанной окружности?

4.На пересечении каких линий лежит центр описанной окружности треугольника?