Описанные окружности — ЕГЭ профиль

Описанные окружности (Задание 1)

Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. В задании 1 профильного ЕГЭ ты чаще всего встречаешь окружности, описанные около треугольников (реже - около четырёхугольников). Задача обычно сводится к поиску радиуса через данные элементы фигуры: стороны, углы или площадь.

Вся теория строится на одном простом факте: у радиуса есть три разных формулы, и выбор между ними полностью определяется тем, что тебе дали в условии.

iЗАМЕЧАНИЕ

Главное свойство центра

Центр описанной около многоугольника окружности всегда лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Отсюда следует, что расстояния от центра до всех вершин равны - это и есть радиус $R .$

Около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну. А вот около четырёхугольника - только при выполнении особого условия (о нём ниже).

Основные формулы

Для успешного решения задач на описанную окружность тебе нужно твёрдо знать три основные формулы.

ВАЖНОЕ

Расширенная теорема синусов

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности (её диаметру):

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

ВАЖНОЕ

Радиус через площадь и стороны

Радиус описанной окружности можно найти, зная все три стороны треугольника и его площадь:

R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 S}

Радиус через произведение сторон и площадь

ВАЖНОЕ

Описанная окружность прямоугольного треугольника

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит ровно на середине гипотенузы. Радиус равен половине гипотенузы, а также равен медиане, проведённой к гипотенузе:

R = \frac{c}{2} = m_{c}

Описанная окружность прямоугольного треугольника

Алгоритм решения

Когда ты видишь задачу на поиск радиуса описанной окружности, действуй по плану - выбор формулы полностью определяется тем, что дано в условии.

АЛГОРИТМ

Поиск радиуса описанной окружности

1. Проверь тип треугольника. Если треугольник прямоугольный (по условию или по теореме Пифагора на самой большой стороне), задача решается в одно действие: $R = \frac{c}{2},$ где $c$ - гипотенуза.
2. Ищи известную пару «сторона - противолежащий угол». Если дана длина стороны и градусная мера угла напротив неё, сразу применяй расширенную теорему синусов: $R = \frac{a}{2 sin α} .$
3. Используй две формулы площади. Если в условии есть высота (и, возможно, не все стороны), выпиши площадь через основание и высоту ( $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ ) и через формулу $R = \frac{ab c}{4 S} .$ Приравняй выражения - неизвестная сторона часто сокращается, и остаётся линейное уравнение на $R .$

Примеры решения задач

Три задачи ниже идут от простой к составной: первая решается в одно действие, последняя требует связать сразу две формулы площади.

ПРИМЕР 1

Классическая теорема синусов

В треугольнике $A B C$ известно, что угол $A$ равен $3 0^{\circ},$ а противолежащая ему сторона $B C$ равна $12 .$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Треугольник с известным углом и противолежащей стороной

ПРИМЕР 2

Скрытый прямоугольный треугольник

В окружность вписан треугольник со сторонами $10,$ $24$ и $26 .$ Найдите радиус этой окружности.

Вписанный треугольник со сторонами 10, 24, 26

ПРИМЕР 3

Комбинация площади и радиуса

В окружность с центром в точке $O$ вписан треугольник $A B C .$ Длина высоты $C H,$ проведённой к стороне $A B,$ равна $12,$ а стороны $A C$ и $B C$ равны $15$ и $20$ соответственно. Найдите радиус окружности.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница центров вписанной и описанной окружностей

Ошибка: Считать, что центр описанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Правильно: Биссектрисы - это центр вписанной окружности. Центр описанной окружности - это пересечение серединных перпендикуляров. Запомни правило: вписанная касается сторон (расстояние до сторон - перпендикуляры от биссектрисы), описанная касается вершин (расстояние до вершин - от серединного перпендикуляра).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильное использование радиуса прямоугольного треугольника

Ошибка: При вычислении радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника делить пополам один из катетов.
Правильно: Описанная окружность прямоугольного треугольника имеет диаметр, в точности совпадающий с гипотенузой. Поэтому $R = \frac{c}{2},$ где $c$ - самая длинная сторона.

Что запомнить

Радиус и угол: Если есть угол и сторона напротив - это сигнал к использованию $\frac{a}{sin α} = 2 R .$
Прямой угол: Если треугольник прямоугольный, $R$ - это просто половина гипотенузы.
Две площади: Формула $R = \frac{ab c}{4 S}$ идеально комбинируется с классической формулой $S = \frac{1}{2} ah .$ Неизвестная сторона сокращается, оставляя линейное уравнение относительно $R .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 1

Время выполнения: 2-3 минуты. Задание базовое, на нём нельзя застревать.
Очерёдность: Решай в самом начале варианта, на свежую голову. Это лёгкий первичный балл, терять его из-за арифметики нельзя.
Быстрая проверка: Радиус должен быть соразмерен сторонам. Если стороны $15$ и $20,$ радиус не может быть $0, 5$ или $2000 .$ Получив ответ, сопоставь его с числами из условия.
Если забыл формулу: сделай аккуратный чертёж. Часто решение «видно» по пропорциям - например, что гипотенуза проходит через центр и равна диаметру.

Проверь себя0 из 4

1.Где лежит центр окружности, описанной около треугольника?

2.В треугольнике сторона

a = 8,

а противолежащий ей угол равен

3 0^{\circ} .

Чему равен радиус описанной окружности?

3.Треугольник со сторонами

6,

8

10

вписан в окружность. Чему равен её радиус?

4.При каком условии около четырёхугольника можно описать окружность?