Окружности и системы окружностей

Окружности и системы окружностей (задание 18)

Задачи на взаимное расположение двух окружностей встречаются на ЕГЭ редко, но именно поэтому и вызывают ступор. Хорошая новость - набор приёмов здесь узкий: запомни несколько фактов про линию центров, общую хорду и касающиеся окружности, и такие задачи будут даваться тебе легче, чем классика про вписанные углы.

Взаимное расположение двух окружностей

Пусть даны две окружности с радиусами $R$ и $r$ (считаем $R⩾r$), а расстояние между их центрами равно $d\text{.}$ Вся конфигурация полностью определяется этими тремя числами:

1. Не пересекаются, одна вне другой: $d>R+r\text{.}$
2. Касаются внешним образом: $d=R+r\text{.}$ Одна общая точка, центры - по разные стороны от неё.
3. Пересекаются в двух точках: $R-r<d<R+r\text{.}$ Образуется общая хорда.
4. Касаются внутренним образом: $d=R-r\text{.}$ Одна общая точка, центры - по одну сторону от неё.
5. Одна внутри другой без касания: $d<R-r\text{.}$

Ключевые факты

Для задач с системами окружностей нужны три инструмента: линия центров, общая хорда и свойство касающихся окружностей.

ВАЖНОЕ

Линия центров и общая хорда

Если две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B\text{,}$ то прямая $O_1{O}_2$ перпендикулярна общей хорде $AB$ и делит её пополам.

Длина общей хорды вычисляется по формуле:

$$AB=2\cdot \sqrt{R^2-h^2}$$

где $h$ - расстояние от центра соответствующей окружности до хорды. Величину $h$ удобно искать через площадь треугольника $O_{1}A{O}_2$ со сторонами $O_1{O}_2=d\text{,}$ $O_{1}A=R\text{,}$ $O_{2}A=r\text{.}$

ВАЖНОЕ

Касающиеся окружности

Если две окружности касаются (внешним или внутренним образом) в точке $K\text{,}$ то:

1. Точки $O_1\text{,}$ $K\text{,}$ $O_2$ лежат на одной прямой.
2. Общая касательная в точке $K$ перпендикулярна линии центров.
3. При внешнем касании $O_1{O}_2=R+r\text{;}$ при внутреннем касании $O_1{O}_2=|R-r|\text{.}$
4. Точка $K$ - центр гомотетии: любая секущая через $K$ отсекает на окружностях хорды, параллельные друг другу.

Алгоритм решения

Примеры решения

Разберём две задачи: классическую на пересечение и задачу на внешнее касание с общей касательной - типичная комбинация, которая встречается на экзамене.

Частые ошибки

Что запомнить

• Линия центров $O_1{O}_2$ - ось симметрии конфигурации. Она перпендикулярна общей хорде и делит её пополам.

• Если окружности касаются, центры и точка касания лежат на одной прямой; общая касательная в этой точке перпендикулярна линии центров.

• Длина общей внешней касательной для двух касающихся окружностей радиусов $R$ и $r$ равна $2\sqrt{Rr}\text{.}$

• Координатный метод выручает, когда заданы радиусы и расстояния от центров до прямых: помести начало в центр одной окружности и направь ось на центр другой.

Стратегия на экзамене

За что дают баллы

В задании $18$ можно получить от $0$ до $3$ баллов:

• $3$ балла. Полное доказательство пункта а) со ссылками на теоремы и верный ответ в пункте б) с обоснованием каждого шага.

• $2$ балла. Пункт а) доказан верно, в б) логика правильная, но есть арифметическая ошибка. Или пункт б) решён безупречно (с независимым доказательством), а пункт а) не решён.

• $1$ балл. Верно и полно доказан только пункт а). Или пункт а) не доказан, но пункт б) решён верно с опорой на утверждение из пункта а).

• $0$ баллов. Решение не содержит верных продвижений. Голый ответ без вычислений или ответ, основанный на ошибочном допущении (например, что радиусы равны, хотя из условия это не следует), тоже оценивается в $0$ баллов.