Окружности и четырехугольники, разные… — ЕГЭ профиль

Окружности и четырёхугольники (разные задачи)

Задание 18 - это геометрическая задача второй части, требующая глубокого понимания планиметрии. Тема «Окружности и четырёхугольники» встречается примерно в 38% случаев. Специфика этих задач в том, что тебе нужно уметь связывать линейные элементы (стороны, диагонали) и угловые величины через свойства вписанных и описанных фигур.

Основные формулы и теоремы

Чтобы щёлкать такие задачи, нужно знать базовые признаки и свойства вписанных и описанных четырёхугольников наизусть.

ВАЖНОЕ

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

Кроме того, если два угла опираются на один и тот же отрезок и равны (например, $∠ C A D = ∠ C B D$ ), то точки $A, B, C, D$ лежат на одной окружности.

ВАЖНОЕ

Описанный четырёхугольник

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны:

A B + C D = B C + A D

ВАЖНОЕ

Теорема Птолемея

Во всяком вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

A C \cdot B D = A B \cdot C D + A D \cdot B C

ВАЖНОЕ

Степень точки (пересекающиеся хорды и секущие)

Для хорд $A B$ и $C D,$ пересекающихся внутри окружности в точке $M :$

A M \cdot M B = C M \cdot M D

Для секущих, проведённых из точки $P$ вне окружности (пересекают окружность в точках $A, B$ и $C, D$ соответственно):

P A \cdot P B = P C \cdot P D

(Обрати внимание: умножается внешняя часть на всю секущую!)

✓СОВЕТ

Стратегия: чему отдавать приоритет при выборе формулы

Видишь вписанный четырёхугольник и ищешь сторону или диагональ - сначала попробуй теорему Птолемея, она часто даёт уравнение в одну строчку.
Видишь описанный четырёхугольник - сразу запиши Пито $A B + C D = B C + A D,$ это даст связь между четырьмя сторонами.
Видишь пересечение прямых (хорд, секущих) - пиши степень точки. Это работает в 80% задач, где в условии есть пересечение.
Не видишь явной окружности, но есть прямые углы на один отрезок - ищи скрытую окружность с диаметром на этом отрезке.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

План действий для задания 18

1. Нарисуй крупный чертёж. Сделай его на полстраницы черновика. Если в задаче есть окружность и четырёхугольник - сначала рисуй окружность, а уже потом вписывай в неё фигуру (так чертёж выйдет ровнее).
2. Определи тип конфигурации. Проверь, работает ли свойство сумм углов или сумм сторон. Отметь на чертеже равные элементы.
3. Пункт «а» (Доказательство). Ищи вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Выражай углы через переменные ( $α,$ $β$ ) и ищи подобные треугольники. В 90% случаев доказательство строится на подобии или факте того, что вокруг фигуры можно описать окружность.
4. Пункт «б» (Вычисление). Перенеси результат пункта «а» в вычисления. Примени теорему косинусов, синусов, теорему Птолемея или свойства секущих для нахождения нужной длины или площади.
5. Проверь логические шаги. Убедись, что перед использованием формулы (например, теоремы Птолемея) ты чётко написал: «Так как четырёхугольник вписан в окружность...».

Примеры решения

Разберём две задачи, которые отлично иллюстрируют, как применять теорию на практике.

ПРИМЕР 1

Параллелограмм и окружность

Условие:
Окружность проходит через вершины $A,$ $B$ и $D$ параллелограмма $A B C D,$ пересекает сторону $B C$ в точке $E,$ а сторону $C D$ в точке $K .$
а) Докажите, что $A E = A K .$
б) Найдите $A D,$ если $C E = 8,$ $D K = 5$ и $cos ∠ B A D = 0, 25 .$

ПРИМЕР 2

Пересекающиеся секущие

Условие:
Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в точке $P .$ Известно, что $A B = 5,$ $C D = 5,$ $P C = 4,$ $B C = 6 .$
а) Докажите, что треугольники $P B C$ и $P D A$ подобны.
б) Найдите диагональ $B D .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Применение теоремы Птолемея без обоснования

Ошибка: Увидеть четырёхугольник с известными сторонами и диагоналями и сразу написать $d_{1} d_{2} = a c + b d,$ не проверив, вписан ли он в окружность.
Правильно: Теорема Птолемея работает только для вписанных четырёхугольников. Сначала докажи, что $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ или найди равные вписанные углы, и только потом применяй формулу.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки в свойстве секущих

Ошибка: Записать формулу секущих как произведение внешней части на внутреннюю: $P A \cdot A B = P C \cdot C D .$
Правильно: Степень точки для секущих всегда записывается как произведение внешней части на всю секущую целиком: $P A \cdot P B = P C \cdot P D .$

Что запомнить

Если дана окружность и четырёхугольник, сразу ищи вписанные углы.
Равнобедренная трапеция и прямоугольник - лучшие друзья окружности. Если видишь их, ищи скрытые дуги.
Теорема косинусов и свойство секущих часто идут в паре для нахождения неизвестных отрезков.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения

Ориентировочное время: 25-35 минут.
Приоритет: Решай это задание во второй половине экзамена, после алгебры (14, 16) и, возможно, параметров (19). Планиметрия требует инсайта и «насмотренности».
Когда стоит пропустить: Если через 10 минут работы с чертежом ты не нашёл ни подобных треугольников, ни равных углов - оставь задачу и вернись к ней позже свежим взглядом.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо. Если доказательство пункта «а» не выходит, прими его как факт и реши пункт «б». За это дадут 1 балл.

За что дают баллы

Оценивание 18-го задания идёт от 0 до 3 баллов:

3 балла: Приведено математически грамотное доказательство пункта «а» и абсолютно верно вычислен пункт «б».
2 балла: Пункт «а» доказан безупречно, логика пункта «б» верна, но в конце допущена арифметическая ошибка (например, $16 + 81 = 107$ вместо $106$ ). ИЛИ пункт «б» решён абсолютно верно без опоры на пункт «а» (найден альтернативный путь), а сам пункт «а» не доказан.
1 балл: Верно и полно доказан только пункт «а». ИЛИ пункт «б» решён верно с использованием недоказанного факта из пункта «а».
0 баллов: Решение не соответствует критериям выше. Запись одного лишь ответа к пункту «б» без обоснования оценивается в 0 баллов.

Проверь себя0 из 4

1.Четырёхугольник

A B C D

вписан в окружность. Какое равенство верно всегда?

2.Из точки

P

вне окружности проведены две секущие: первая пересекает окружность в точках

A

B,

вторая — в точках

C

D .

Какая формула верна?

3.Что утверждает теорема Птолемея для вписанного четырёхугольника

A B C D ?

4.Какую трапецию можно вписать в окружность?