Объем составного многогранника — ЕГЭ профиль

Объём составного многогранника

Задание 3 проверяет базовые знания стереометрии. Тема «Объём составного многогранника» - один из самых популярных сюжетов этого номера на экзамене.

Суть этих задач сводится к одному: дан стандартный многогранник (прямоугольный параллелепипед, куб или правильная призма), и внутри него выделен новый многогранник, заданный списком вершин. Требуется найти его объём. Реже просят найти объём оставшейся части.

Ключевая идея - аддитивность объёма: если тело разбить на несколько непересекающихся частей, объём целого равен сумме объёмов частей. А если тело получено выкидыванием одной части из другой - объём равен разности.

Два базовых приёма: разбиение и вычитание

Основные формулы

Для успешного решения нужно уверенно знать три базовые формулы объёмов и правило аддитивности.

ВАЖНОЕ

Объём прямоугольного параллелепипеда и куба

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

V = a \cdot b \cdot c

Объём куба (где все рёбра равны $a$ ):

V = a^{3}

ВАЖНОЕ

Объём призмы

Объём любой призмы (и прямой, и наклонной) равен произведению площади основания на высоту:

V_{призм} = S_{осн} \cdot h

ВАЖНОЕ

Объём пирамиды

Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

V_{пирам} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h

ВАЖНОЕ

Аддитивность объёма

Если многогранник разбит на части, не имеющие общих внутренних точек, то:

V = V_{1} + V_{2} + \dots + V_{n}

Если же одно тело получено удалением другого, объёмы вычитаются:

V_{остатка} = V_{целого} - V_{отсечённого}

iЗАМЕЧАНИЕ

Принцип Кавальери

Два тела с одинаковыми площадями сечений на каждой высоте имеют равные объёмы. На задании 3 этот принцип применяется редко, но он объясняет, почему объём наклонной призмы считается по той же формуле, что и прямой: сечения, параллельные основанию, равны.

Алгоритм решения

Почти любую задачу этого типа можно решить одним из трёх способов: прямой счёт, разбиение на простые части или вычитание из целого. Выбирай тот, который короче для конкретного чертежа.

АЛГОРИТМ

Алгоритм вычисления объёма

1. Сделай чертёж. Нарисуй исходный многогранник и соедини линиями заданные вершины. Выдели получившееся тело (заштрихуй основание).
2. Определи тип получившегося тела. Чаще всего это треугольная или четырёхугольная пирамида. Реже - призма или сумма двух пирамид.
3. Выбери приём. Прямой счёт - если у тела сразу видно основание и высоту. Разбиение - если тело сложное, но разваливается на пирамиды или призмы. Вычитание - если проще найти объём целого и отрезать от него «лишнее».
4. Подставь в формулу. Не забудь коэффициент $\frac{1}{3}$ для пирамиды. Для призмы коэффициента нет.
5. Сложи или вычти объёмы частей. Запиши $V = V_{1} + V_{2}$ или $V = V_{целого} - V_{отсечённого}$ и посчитай.

✓СОВЕТ

Как выбрать приём

Если в списке вершин есть все четыре вершины одной грани параллелепипеда - почти наверняка перед тобой пирамида с основанием на этой грани, бери прямой счёт. Если выписано 6 из 8 вершин - это призма, и удобнее считать прямо. Если выписано 3-4 вершины и нет целой грани - пирамида, основание можно собрать по-разному.

Примеры решения

Разберём три типичные задачи от самых простых к более хитрым. Обрати внимание на то, как мы выбираем основание в первом примере.

ПРИМЕР 1

Треугольная пирамида в параллелепипеде

Условие:
В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B = 8,$ $A D = 5,$ $A A_{1} = 6 .$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A,$ $B,$ $D,$ $A_{1} .$

ПРИМЕР 2

Четырёхугольная пирамида в параллелепипеде

Условие:
В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $B C = 4,$ $C D = 7,$ $C C_{1} = 9 .$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $B_{1} .$

ПРИМЕР 3

Отсечённая треугольная призма через вычитание

Условие:
Объём куба равен $104 .$ Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Куб с отсечённой призмой, вид и основание

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытый коэффициент для пирамиды

Ошибка: Вычислить объём треугольной пирамиды как $V = S_{осн} \cdot h,$ забыв разделить на $3 .$

Правильно: У призмы и параллелепипеда коэффициента нет. У всего, что сужается к вершине (пирамида, конус) - всегда есть коэффициент $\frac{1}{3} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потерянная двойка в площади треугольника

Ошибка: При поиске площади треугольного основания (как в Примере 1) перемножить стороны прямоугольника $8 \cdot 5 = 40$ и забыть разделить пополам.

Правильно: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неверно выбранная высота пирамиды

Ошибка: В качестве высоты пирамиды взять боковое ребро, даже когда оно наклонное, а не перпендикулярное основанию.

Правильно: Высота пирамиды - это перпендикуляр из вершины к плоскости основания. В прямоугольном параллелепипеде высотой пирамиды является боковое ребро $A A_{1}$ только тогда, когда вершина пирамиды - это $A_{1}$ (или другая точка верхней грани), а основание лежит в нижней грани. Если же вершина лежит «сбоку», перпендикуляр падает на другую грань - и за высоту берётся уже другое ребро.

Что запомнить

Если в задаче дан прямоугольный параллелепипед с объёмом $V,$ запомни три типичные доли:

Треугольная пирамида с основанием из $3$ вершин одной грани и вершиной на противоположной грани (например, $A, B, D, A_{1}$ ) - $\frac{1}{6} V .$
Четырёхугольная пирамида, опирающаяся на всю грань (например, $A, B, C, D, A_{1}$ ) - $\frac{1}{3} V .$
Треугольная призма, отрезанная диагональным сечением (например, $A, B, C, A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ) - $\frac{1}{2} V .$

Эти три доли покрывают почти все задачи банка. Если вычислил ответ и он не совпадает ни с одной из долей - это сигнал перепроверить вычисления.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 2-4 минуты.
Действия: Прочитай условие и сразу сделай набросок фигуры. Подпиши длины известных рёбер. Определи, что перед тобой: призма или пирамида.
Проверка: Если ты ищешь объём части параллелепипеда, прикинь визуально, какую долю от целого она занимает. Если получился объём $84,$ а объём всего параллелепипеда $100,$ и фигура явно занимает меньше половины - ищи ошибку (скорее всего, забыто деление на $2$ или на $3$ ).
Статус: Это задание нужно решать сразу в черновике, оно не требует сложных раздумий и является надёжным источником баллов.

Проверь себя0 из 4

1.Объём пирамиды вычисляется по формуле:

2.Четырёхугольная пирамида опирается на всю нижнюю грань параллелепипеда, а её вершина лежит на верхней грани. Какую долю объёма параллелепипеда она занимает?

3.В прямоугольном параллелепипеде

A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

известно, что

A B = 6,

A D = 4,

A A_{1} = 5 .

Чему равен объём пирамиды с вершинами

A,

B,

D,

A_{1} ?

4.Треугольная призма отрезана от параллелепипеда диагональным сечением через рёбра

B B_{1}

D D_{1}

(вершины

A, B, D, A_{1}, B_{1}, D_{1}

). Какая это доля объёма параллелепипеда?