Нормальное распределение (Задание 6)
Рост человека, масса пачки крупы, диаметр вытачиваемого вала, время доставки заказа - величины совершенно разной природы, но картинка распределения у всех получается одна и та же: симметричный «колокол» с вершиной над средним значением. Это и есть нормальное распределение, и в задании 6 оно даёт самый узнаваемый сюжет.
Хорошая новость: интегралы не нужны. В условии таких задач прямо напечатаны три числа - 0,68, 0,95 и 0,997, - и вся работа сводится к тому, чтобы понять, какой кусок колокола у тебя спрашивают, и собрать ответ из этих трёх чисел.
Два числа, которые задают колокол
Нормальная величина полностью описывается двумя числами, и оба уже знакомы по дискретному случаю.
ВАЖНОЕ
Параметры нормального распределения
a=E(X),σ=σ(X)=D(X)a - математическое ожидание. Это одновременно вершина колокола и его ось симметрии.
σ - стандартное отклонение. Оно отвечает за ширину: чем больше σ, тем ниже и шире колокол.
Коротко это записывают так: X∼N(a;σ).
Из симметрии сразу следует то, чем пользуются в задачах чаще всего:
P(X<a)=P(X>a)=0,5Половина значений левее среднего, половина правее. И два «хвоста», одинаково удалённых от a, всегда равны между собой.
iЗАМЕЧАНИЕ
Где на графике «видно» σ
Ровно на расстоянии σ от центра колокол перестаёт загибаться вниз и начинает загибаться вверх - это точки перегиба. Проще говоря, σ - полуширина «горба». Поэтому две кривые на рисунке выше так не похожи: центр у них общий, но у узкой σ=4 г, а у широкой σ=8 г.
Правило трёх сигм
Точную площадь под колоколом школьными средствами не посчитать, поэтому в задании 6 нужные числа выдают готовыми. Их печатают прямо в условии - заучивать не обязательно, но узнавать нужно мгновенно.
ВАЖНОЕ
Правило трёх сигм
P(a−σ<X<a+σ)≈0,68P(a−2σ<X<a+2σ)≈0,95P(a−3σ<X<a+3σ)≈0,997Все три промежутка симметричны относительно a. Для несимметричного промежутка готового числа правило не даёт - его собирают из половинок.
Разрежь колокол по всем засечкам - и останется всего четыре разных числа: правая половина зеркально повторяет левую.
✓СОВЕТ
Четыре числа, из которых собирается любой ответ
- от a до a+σ: 0,68:2=0,34
- от a+σ до a+2σ: (0,95−0,68):2=0,135
- от a+2σ до a+3σ: (0,997−0,95):2=0,0235
- правее a+3σ: (1−0,997):2=0,0015
Сумма этих четырёх чисел равна 0,5 - это вся правая половина колокола. Хорошая проверка себя: если твои куски не складываются в 0,5 или в 1, где-то потеряна часть.
Как перевести условие в сигмы
Условие говорит в граммах, миллиметрах и минутах, а правило трёх сигм - в сигмах. Перевод и есть главный шаг решения.
АЛГОРИТМ
Алгоритм решения
1. Выпиши a и σ. Если в условии дана дисперсия D, сначала извлеки корень: σ=D.
2. Переведи каждую границу в сигмы. Посчитай разность «граница минус a» и раздели её на σ. В задании 6 всегда получается ровно 1, 2 или 3 - если вышло 1,7, ищи ошибку в чтении условия.
3. Определи форму вопроса: симметричный промежуток, один хвост или несимметричный промежуток.
4. Собери ответ из готовых чисел.
5. Если спрашивают количество, а не долю, умножь найденную вероятность на размер партии.
Три формы вопроса
Дальше всё зависит только от того, какой кусок колокола закрашен.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Одна ловушка на все три случая
Пусть a=500 г и σ=4 г. Формулировка «масса отличается от 500 г не более чем на 12 г» задаёт симметричный промежуток (a−3σ; a+3σ), и ответ равен 0,997. А «масса больше 512 г» - это один хвост правее a+3σ, и ответ равен 0,0015. Числа в обеих формулировках одни и те же, а ответы различаются в сотни раз. Дочитывай условие до конца.
Примеры решения
ПРИМЕР 1
Симметричный промежуток
Рост юношей выпускных классов распределён нормально с математическим ожиданием 176 см и стандартным отклонением 6 см. Найдите долю юношей, рост которых составляет от 164 до 188 см.
Считайте, что для нормально распределённой величины X с математическим ожиданием a и стандартным отклонением σ выполнены равенства P(a−σ<X<a+σ)=0,68, P(a−2σ<X<a+2σ)=0,95, P(a−3σ<X<a+3σ)=0,997.
ПРИМЕР 2
Один хвост
Масса батона хлеба распределена нормально с математическим ожиданием 400 г и стандартным отклонением 5 г. Найдите долю батонов, которые легче 390 г.
ПРИМЕР 3
Несимметричный промежуток
Диаметр вала, выпускаемого станком, распределён нормально с математическим ожиданием 40 мм и стандартным отклонением 0,2 мм. Найдите долю валов, диаметр которых составляет от 39,8 до 40,4 мм.
ПРИМЕР 4
От доли к количеству
Автомат фасует крупу в пачки. Масса пачки распределена нормально с математическим ожиданием 500 г и стандартным отклонением 4 г. Пачка бракуется, если её масса отличается от 500 г более чем на 12 г. Сколько бракованных пачек в среднем окажется в партии из 20000 пачек?
ПРИМЕР 5
Обратная задача: найти сигму
Длина детали распределена нормально с математическим ожиданием 60 мм. Известно, что 84% деталей короче 62 мм. Найдите стандартное отклонение длины детали. Ответ дайте в миллиметрах.
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Хвост посчитан без деления пополам
Ошибка: спрашивают долю значений, больших a+2σ, а в ответ пишут 1−0,95=0,05.
Правильно: 0,05 - это ДВА хвоста, левый и правый вместе. Один хвост вдвое меньше: 0,05:2=0,025. Прежде чем записать ответ, спроси себя, сколько кусков колокола ты посчитал - один или два.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Несимметричный промежуток считают вычитанием
Ошибка: для промежутка (a−σ; a+2σ) берут разность 0,95−0,68=0,27.
Правильно: разность 0,95−0,68 - это площадь двух боковых полос вместе: от a−2σ до a−σ и от a+σ до a+2σ. К искомому промежутку она отношения не имеет. Несимметричный промежуток режут точкой a и складывают половинки: 0,68:2+0,95:2=0,815.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Дисперсию приняли за сигму
Ошибка: в условии дана дисперсия D(X)=9, и границы отмеряют по девять единиц: «a±9 - это одна сигма».
Правильно: правило трёх сигм работает со стандартным отклонением, а не с дисперсией. Здесь σ=9=3, и одна сигма - это 3 единицы. Обратный переход тоже пригодится: если дано σ, то D=σ2.
Что запомнить
- Нормальная величина задаётся парой чисел: a=E(X) - центр и ось симметрии, σ=D(X) - ширина колокола.
- Колокол симметричен: P(X<a)=P(X>a)=0,5, а хвосты, одинаково удалённые от a, равны между собой.
- Готовые числа 0,68, 0,95, 0,997 правило даёт только для симметричных промежутков (a−kσ; a+kσ).
- Первый шаг любой задачи - перевод границ в сигмы: раздели «граница минус a» на σ. Должно получиться 1, 2 или 3.
- Один хвост: (1−P):2. Оба хвоста сразу: 1−P. Несимметричный промежуток: сумма двух половинок.
- Опорные половинки: 0,34, 0,135, 0,0235, 0,0015. Их сумма равна 0,5.
✓СОВЕТ
Стратегия
- Тайминг: 2-4 минуты. Из всех сюжетов задания 6 нормальное распределение самое быстрое: считать почти нечего, вся работа - в голове и на черновике.
- Не учи три числа наизусть - их печатают в условии. Учи, к чему они относятся: 0,68 - это ровно ±σ, а не «плюс-минус что-нибудь».
- Рисуй колокол на черновике и закрашивай то, что спрашивают. Одна картинка снимает почти все ошибки этой темы.
- Следи за вопросом: «доля», «вероятность» и «процент» - это число от 0 до 1, а «сколько штук» - это доля, умноженная на размер партии. В бланк уходят разные числа.
- Проверка: доля обязана лежать между 0 и 1. Если у промежутка внутри двух сигм вышло больше 0,95 - где-то потеряна половина.
Проверь себя0 из 4
1.Величина X распределена нормально, a=20, σ=3. Чему равна P(14<X<26)?
2.Пусть a=50 и σ=2. Какова доля значений, больших 52?
3.Пусть a=10 и σ=1. Чему равна P(9<X<12)?
4.Дано a=100 и D(X)=16. Каковы границы промежутка «две сигмы»?