Разобрался в теме? Закрепи на задачах
Задачи по каждой теме с ИИ-проверкой и конспекты по всем разделам ЕГЭ. Бесплатно, 20 проверок в неделю.
Задание 19 - это задача высокого уровня сложности. Хотя бо́льшая часть экзаменационных задач состоит из уравнений с параметром, неравенства и системы неравенств стабильно встречаются на ЕГЭ. Главное их отличие от уравнений в том, что решением неравенства является не набор точек, а целое множество (промежуток). Поэтому здесь особенно важно следить за строгими и нестрогими знаками, а графики превращаются из линий в закрашенные области.
Обычно в задачах с неравенствами просят найти значения параметра a, при которых система имеет хотя бы одно решение на заданном отрезке, или наоборот, выполняется для всех x из указанного множества.
Для решения неравенств с параметром чаще всего применяются три подхода: разделение переменных, метод областей на плоскости (x;a) и аналитическое исследование через экстремум функции.
Если из неравенства удаётся выразить параметр в явном виде (a⩾f(x) или a⩽f(x)), задача сводится к сравнению горизонтальной прямой a=const с графиком функции y=f(x).
Условие a⩾f(x) для всех x∈X равносильно a⩾maxx∈Xf(x).
Условие a⩾f(x) хотя бы для одного x∈X равносильно a⩾minx∈Xf(x).
Аналогично для a⩽f(x): меняется направление, но логика та же.
Если переменные x и a переплетены и разделить их не получается, строй график в системе координат, где горизонтальная ось - x, а вертикальная - a.
Неравенство вида f(x,a)⩾0 задаёт на этой плоскости закрашенную область.
Чтобы найти множество значений a, при которых у системы есть решение, проводи горизонтальную прямую a=const и смотри, пересекает ли она закрашенную область в нужной полосе по x.
Условие «неравенство f(x,a)⩾0 выполняется для всех x∈X» равносильно тому, что наименьшее значение функции на этом множестве неотрицательно:
x∈Xminf(x,a)⩾0Условие «неравенство f(x,a)⩾0 имеет хотя бы одно решение на X» равносильно тому, что наибольшее значение функции неотрицательно:
x∈Xmaxf(x,a)⩾0Если коэффициент при x2 содержит параметр - (a−1)x2+bx+c⩾0, - обязательно разбирай три случая:
1. a−1>0 - парабола ветвями вверх, исследуй дискриминант.
2. a−1=0 - неравенство становится линейным, решай отдельно.
3. a−1<0 - парабола ветвями вниз, знак неравенства «переворачивается» относительно корней.
Графический метод на плоскости (x;a) - самый надёжный способ решения систем неравенств с параметром.
1. Построй границы. Замени знаки неравенств на знаки равенства и построй получившиеся графики (прямые, параболы, окружности) на плоскости (x;a).
2. Определи области. Возьми пробную точку из любой области, не лежащую на границе. Подставь её координаты в исходное неравенство. Если оно верное - закрась эту область. Проделай это для каждого неравенства системы.
3. Найди пересечение. Решением системы будет общая закрашенная территория.
4. Учти ограничения на x. Если в условии сказано, что решение должно быть на отрезке [p;q], выдели этот отрезок вертикальными прямыми x=p и x=q. Оставь только ту часть закрашенной области, которая попала в эту полосу.
5. Считай ответ. Мысленно сканируй плоскость горизонтальной прямой снизу вверх. Те значения a (высоты прямой), при которых прямая цепляет оставшуюся закрашенную область, и пойдут в ответ.
Разберём три задачи. Первая покажет приём разделения переменных (базовый навык для неравенств с параметром). Вторая - аналитический метод через пересечение отрезков решений. Третья - графический метод областей на плоскости (x;a), самый мощный инструмент для систем.
Условие:
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
выполняется для всех x∈[1;3].
Условие:
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
имеет хотя бы одно решение на отрезке [0;2].
Условие:
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3;4].
Ошибка: Умножить обе части неравенства a−2x−3⩾1 на (a−2) и получить x−3⩾a−2.
Правильно: Знак выражения (a−2) неизвестен! Если a<2, знак неравенства должен поменяться на противоположный. Либо переноси единицу влево и приводи к общему знаменателю, либо рассматривай два случая: a>2 и a<2.
Ошибка: Найти граничные значения параметра a=1 и a=5, и записать в ответ отрезок [1;5] просто по привычке, хотя исходные неравенства были строгими (< или >).
Правильно: Тщательно проверяй, принадлежит ли сама граничная точка ответу. Если неравенство строгое, граница выкалывается (скобка круглая). На экзамене ошибка в скобке снижает оценку с 4 до 3 баллов.
Ориентировочное время: 30-40 минут.
Очерёдность: Оставляй эту задачу на финал экзамена. Сначала нужно заработать верные баллы на первой части и джентльменском наборе второй (уравнение 14, неравенство 16, прикладная задача 17).
Чертежи - твоё всё: Если решаешь систему методом областей на (x;a), делай рисунок крупным, на полстраницы. Тщательно подписывай все прямые.
Частичный балл: Даже если ты не знаешь, как довести задачу до конца, но верно выделил полный квадрат, построил окружности и прямые на плоскости (x;a) и заштриховал нужную область - это уже математически верное сведение задачи к исследованию графиков. За это можно получить 1 балл.
Оценивание 19-го задания происходит по чёткой шкале от 0 до 4 баллов:
4 балла: Обоснованно получен верный ответ. Логика рассуждений прозрачна, все переходы равносильны.
3 балла: Решение полностью верное, но итоговое множество отличается от правильного только включением или исключением граничных точек (например, из-за невнимательности к строгим знакам или ОДЗ).
2 балла: Верным логическим рассуждением получен какой-то промежуток (то есть метод выбран правильно, и ты дошёл до конца), ИЛИ допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, 2+3=6), с которой решение корректно доведено до ответа.
1 балл: Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения фигур на плоскости (сделан правильный чертёж областей) или к исследованию квадратичной функции (выписаны нужные условия на дискриминант и корни), но само исследование не завершено или содержит логическую ошибку на следующих шагах.
0 баллов: Решение не соответствует ни одному из критериев выше (написан только ответ или сделаны хаотичные неверные преобразования).