Неравенства с логарифмами по переменному… — ЕГЭ профиль

Логарифмы с переменным основанием и метод рационализации

Задание 16 проверяет умение решать сложные неравенства. Если основание логарифма зависит от $x,$ классический подход требует разбивать решение на два случая: когда основание больше единицы (знак сохраняется) и когда оно меньше единицы (знак меняется). Это долго, громоздко и ведёт к потере корней.

Здесь работает метод рационализации (метод замены множителей). Он позволяет в один шаг заменить логарифмический множитель на простые скобки, избавившись от разбора случаев. Приём нужно знать даже при обычных логарифмических неравенствах: он ускоряет решение и уменьшает шанс ошибиться.

Суть метода и основные формулы

Идея метода: не решай исходное неравенство напрямую, а замени его множители на рациональные выражения, которые на ОДЗ принимают ровно такие же знаки (плюс, минус или ноль) при тех же значениях $x .$ После замены остаётся обычное рациональное неравенство для метода интервалов.

Формально это выражается так: на области, где обе величины определены, выполняется тождество

sign (lo g_{a} b) = sign ((a - 1) (b - 1))

Значит, в произведении или дроби, сравниваемой с нулём, один множитель можно заменить на другой без потери равносильности. Справа обязательно должен стоять ноль, а слева - произведение или дробь из множителей.

ВАЖНОЕ

Базовые замены метода рационализации

На ОДЗ знак логарифмического множителя совпадает со знаком рационального выражения:

1. Одиночный логарифм:

lo g_{a} b ⟷ (a - 1) (b - 1)

2. Разность логарифмов с одинаковым основанием:

lo g_{a} b - lo g_{a} c ⟷ (a - 1) (b - c)

3. Сумма логарифмов с одинаковым основанием:

lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c) ⟷ (a - 1) (b c - 1)

4. Произведение логарифмов:

lo g_{a} b \cdot lo g_{c} d ⟷ (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

ВАЖНОЕ

Следствие для дробей

Если один логарифм делится на другой, применяешь базовую замену и к числителю, и к знаменателю. Скобка $(a - 1)$ сокращается (знак квадрата сохраняется, а по ОДЗ $a \neq = 1,$ то есть $(a - 1)^{2} > 0$ ), поэтому получается короткая формула:

\frac{lo g _{a} b}{lo g _{a} c} ⟷ \frac{b - 1}{c - 1}

Работает только при одинаковом основании у числителя и знаменателя.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения через рационализацию

1. Выпиши ОДЗ. Для логарифма $lo g_{a (x)} f (x)$ одновременно должны выполняться три условия: $a (x) > 0,$ $a (x) \neq = 1,$ $f (x) > 0 .$ Если есть дробь - добавь условие, что знаменатель не равен нулю (для $lo g_{a} c$ это значит $c \neq = 1$ ). Реши систему и зафиксируй промежутки.
2. Подготовь неравенство. Перенеси всё в одну сторону, чтобы справа остался ноль. Приведи к общему знаменателю, разложи числитель на множители. Числа (например, $1$ ) представь как логарифм с нужным основанием: $1 = lo g_{a} a,$ $0 = lo g_{a} 1 .$
3. Рационализируй. Замени логарифмические множители по формулам из таблицы.
4. Реши рациональное неравенство. Раскрой внутренние скобки, приведи подобные. Найди нули числителя и знаменателя, нанеси их на числовую ось и расставь знаки методом интервалов. Учитывай чётную кратность корней.
5. Пересеки с ОДЗ. Наложи решение рационального неравенства на ОДЗ. Итоговое пересечение - ответ.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Нельзя рационализировать без нуля справа

Ошибка: применить замену $lo g_{a} b \to (a - 1) (b - 1)$ напрямую в неравенстве вида $lo g_{x} (x + 5) ⩽ 2,$ получив $(x - 1) (x + 4) ⩽ 2 .$
Правильно: формула равносильна только по знаку выражения относительно нуля. Сначала перенеси $2$ влево и представь как $lo g_{x} x^{2} :$ получаешь $lo g_{x} (x + 5) - lo g_{x} x^{2} ⩽ 0,$ и уже в таком виде применяешь замену разности: $(x - 1) (x + 5 - x^{2}) ⩽ 0 .$

Примеры решения

Примеры идут от базового случая к ЕГЭ-уровню.

ПРИМЕР 1

Одиночный логарифм

Реши неравенство:

lo g_{x} (3 - 2 x) ⩽ 1

ПРИМЕР 2

Дробь логарифмов, ЕГЭ-уровень

Реши неравенство:

\frac{lo g _{x + 2} ( x ^{2} - 2 x + 2 )}{lo g _{x + 2} ( 4 - x )} ⩽ 0

ПРИМЕР 3

Произведение логарифмов

Реши неравенство:

lo g_{x - 1} (5 - x) \cdot lo g_{x - 1} (x + 1) ⩾ 0

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытое условие

a \neq = 1

Ошибка: при выписывании ОДЗ указать только $a (x) > 0$ и $f (x) > 0,$ забыв про $a (x) \neq = 1 .$ Частая ловушка: в неравенстве $lo g_{x^{2} - 4} (x + 3) ⩾ 0$ ограничиться условиями $x^{2} - 4 > 0$ и $x + 3 > 0,$ пропустив $x^{2} - 4 \neq = 1,$ то есть $x \neq = \pm 5 .$
Правильно: ОДЗ логарифма с переменным основанием - это три условия одновременно: $a (x) > 0,$ $a (x) \neq = 1,$ $f (x) > 0 .$ Пропуск второго ведёт к попаданию в ответ точек, где логарифм вообще не определён, и к потере балла.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря ОДЗ после рационализации

Ошибка: сделать замену, решить получившееся рациональное неравенство и записать результат в ответ, не пересекая с ОДЗ.
Правильно: выражение $(a - 1) (b - 1)$ определено при любых значениях $a$ и $b,$ а логарифм - нет. Пересечение решения с ОДЗ - обязательный шаг. Поэтому ОДЗ выписывают до любых преобразований и держат на виду до самого конца.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Пропуск изолированной точки в нестрогом неравенстве

Ошибка: в неравенстве $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{3 - x} ⩽ 0$ сократить числитель и записать в ответ только $x > 3 .$
Правильно: точки, где числитель обращается в ноль (при нестрогом неравенстве $⩽$ ), входят в ответ как изолированные. В этом примере это $x = 1 :$ значение дроби равно нулю, условие $⩽ 0$ выполнено. Итог: ${1} \cup (3; + \infty) .$

Что запомнить

Метод рационализации спасает от разбора случаев (основание больше или меньше единицы) и сокращает решение в 2-3 раза.
На ОДЗ знак $lo g_{a} b$ совпадает со знаком $(a - 1) (b - 1) .$ Это ключевое тождество, из которого выводятся все остальные формулы таблицы.
Замены работают только для множителей и только когда выражение сравнивается с нулём.
Частное $lo g_{a} b / lo g_{a} c$ (одно основание) заменяется на $(b - 1) / (c - 1)$ - множитель $(a - 1)^{2} > 0$ сокращается.
ОДЗ ( $a > 0,$ $a \neq = 1,$ аргументы $> 0,$ знаменатель $\neq = 0$ ) выписывай до любых преобразований. Финальное пересечение с ОДЗ обязательно.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения

Ориентировочное время: 15-20 минут.
Очерёдность: задание 16 решай сразу после уравнений (14). Это надёжные баллы.
Когда применять рационализацию: если видишь логарифм с переменной в основании - сразу замена множителей. Классическим способом потеряешь 5-7 минут.
Оформление: обязательно выпиши ОДЗ отдельным блоком в начале. После рационализации напиши "на ОДЗ" или "при выполнении условий" - эксперт сразу видит, что ты не забыл про ограничения.
Самопроверка: если в ответе получилась изолированная точка (например, ${1}$ ), подставь её в исходное неравенство - должно получиться верное числовое соотношение. Это 30 секунд, но часто спасает балл.

За что дают баллы

В задании 16 можно заработать от 0 до 2 баллов:

2 балла (максимум): обоснованно получен верный ответ. Правильно выписана ОДЗ, корректно применён метод рационализации, нет ошибок в методе интервалов, итоговое пересечение выполнено безупречно.
1 балл: возможны две ситуации:
1. Логика решения верна, но допущена ровно одна вычислительная ошибка (арифметика, сокращение). Решение доведено до конца.
2. Ответ отличается от верного ровно одной точкой: включена выколотая точка (круглая скобка заменена квадратной) или наоборот, потеряна изолированная точка ${x_{0}} .$
0 баллов: ОДЗ найдена неверно (например, забыто $a \neq = 1$ ), метод рационализации применён к выражению, не сравниваемому с нулём, или допущена ошибка в свойствах логарифмов. Обрыв решения на полпути без итогового ответа также оценивается в 0 баллов.

Проверь себя0 из 4

1.На что заменяется множитель

lo g_{a} b

при рационализации (на ОДЗ)?

2.Чем заменяется дробь

\frac{lo g _{a} b}{lo g _{a} c}

(одно основание, на ОДЗ)?

3.Когда можно применять замены метода рационализации?

4.Какие условия входят в ОДЗ логарифма

lo g_{a (x)} f (x)

с переменным основанием?