Математическое ожидание — ЕГЭ профиль

Математическое ожидание (Задание 6)

Половина задач шестого номера звучит на один лад: «найдите средний выигрыш на один билет», «найдите среднюю стоимость ремонта», «найдите математическое ожидание прибыли с одного полиса». Спрашивают везде одно и то же число - математическое ожидание $E (X) .$ Это значение, вокруг которого случайная величина держится в длинной серии: в одном опыте выпасть может что угодно, но средний результат тысячи повторений окажется рядом с $E (X) .$

Считается оно одной формулой в две-три строки. Вся трудность не в арифметике, а в том, чтобы честно выписать все значения величины вместе с вероятностями - включая те исходы, о которых в условии прямо не сказано.

Определение и его смысл

ВАЖНОЕ

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Величина $X$ принимает значения $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ с вероятностями $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n} .$ Тогда

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

В части учебников это же число обозначают $M (X)$ - разницы нет.

Каждое значение входит в сумму со своим весом, и вес - это вероятность. Поэтому $E (X)$ называют средневзвешенным значением величины.

Распределение вероятностей и точка равновесия

Формулу проще всего понять через механику. Положи на невесомую линейку грузики: в точку $x_{i}$ - грузик массы $p_{i} .$ Общая масса равна $1,$ потому что сумма вероятностей равна единице. Тогда $E (X)$ - ровно та точка, в которой линейку можно подпереть, и она не перевесит ни влево, ни вправо. Отсюда сразу два следствия: $E (X)$ всегда лежит между наименьшим и наибольшим значениями, а редкое, но большое значение работает как гиря на длинном плече - даже с вероятностью $0, 2$ оно ощутимо утягивает среднее к себе.

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему это называют «средним»

Проведи $N$ испытаний и посчитай обычное среднее арифметическое полученных результатов. Чем больше $N,$ тем ближе это среднее к $E (X)$ - в этом состоит закон больших чисел. Практический смысл прямой: $E (X)$ - средний результат на одно испытание в длинной серии. Поэтому вопросы вида «сколько компания в среднем платит по одному договору» или «каков средний выигрыш на билет» - это вопросы про математическое ожидание, даже если самого термина в условии нет.

Среднее по серии испытаний приближается к E(X)

Как считать по таблице распределения

АЛГОРИТМ

Алгоритм вычисления E(X)

1. Выпиши все значения величины. Не только перечисленные в условии: если у события есть «пустой» исход (билет без выигрыша, смена без сбоев), у величины есть значение $0,$ и оно тоже участвует.
2. Найди вероятность каждого значения. Обычно это доля: число билетов данного вида делится на общее число билетов.
3. Проверь сумму вероятностей. Она обязана равняться $1 .$ Не сходится - потеряно значение или ошибка в арифметике, считать дальше бессмысленно.
4. Перемножь и сложи. Каждое значение умножь на его вероятность и сложи все произведения.
5. Проверь правдоподобие. Ответ обязан лежать между наименьшим и наибольшим значениями величины. Вышел за границы - ищи ошибку.

Схема подсчёта E(X) по таблице распределения

Свойства, которые экономят время

ВАЖНОЕ

Линейность математического ожидания

E (a X + b) = a E (X) + b

Множитель растягивает среднее во столько же раз, слагаемое сдвигает его на ту же величину. Пересчитывать таблицу распределения при этом не нужно.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

Это равенство верно всегда, независимость величин для него не требуется.

Линейная замена двигает среднее вместе со значениями

ВАЖНОЕ

Среднее число успехов в серии испытаний

Если проводится $n$ независимых испытаний и в каждом успех наступает с вероятностью $p,$ то среднее число успехов равно

E (X) = n p

Пример: при вероятности брака $0, 02$ в партии из $500$ деталей в среднем окажется $500 \cdot 0, 02 = 10$ бракованных. Перебирать вероятности каждого числа успехов не нужно - в этом и выигрыш от формулы.

Примеры решения

Пять сюжетов закрывают почти всё, что встречается в шестом номере.

ПРИМЕР 1

Ожидание по готовой таблице

В кофейне подсчитали, сколько десертов покупают вместе с напитком по одному чеку. Случайная величина $X$ - число десертов в чеке:

$X$	0	1	2	3
$P$	$0, 6$	$0, 3$	$0, 08$	$0, 02$

Найдите математическое ожидание числа десертов в одном чеке.

ПРИМЕР 2

Лотерея: значение, которого нет в таблице

Организаторы благотворительной лотереи выпустили $5000$ билетов. Выигрыши распределены так:

Выигрыш (в рублях)	200	1000	5000	20 000
Число выигрышных билетов	300	60	8	1

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

ПРИМЕР 3

Страховая компания: значение бывает отрицательным

Страховая компания продаёт полис от поломки бытовой техники за $3500$ рублей. Вероятность страхового случая в течение года равна $0, 04;$ при его наступлении компания выплачивает клиенту $60000$ рублей. Найдите математическое ожидание прибыли компании с одного полиса. Ответ дайте в рублях.

Дерево исходов и средняя прибыль страховой компании

ПРИМЕР 4

Обратная задача: ожидание известно, значение - нет

В мастерской стоимость ремонта одного устройства принимает три значения: $1500$ рублей с вероятностью $0, 45,$ $4000$ рублей с вероятностью $0, 35$ и $x$ рублей с вероятностью $0, 2 .$ Средняя стоимость ремонта равна $3500$ рублей. Найдите $x .$

ПРИМЕР 5

Линейная замена

За смену курьер развозит $X$ заказов, причём $E (X) = 12 .$ Оплата смены складывается из фиксированной части $1000$ рублей и $250$ рублей за каждый доставленный заказ. Найдите математическое ожидание оплаты за смену. Ответ дайте в рублях.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Среднее арифметическое вместо средневзвешенного

Ошибка: величина принимает значения $0$ и $10$ - сложить их и поделить пополам, получив $5 .$
Правильно: значения входят в сумму со своими вероятностями. Если $P (X = 0) = 0, 8,$ а $P (X = 10) = 0, 2,$ то $E (X) = 0 \cdot 0, 8 + 10 \cdot 0, 2 = 2 .$ Со средним арифметическим $E (X)$ совпадает только в одном случае - когда все вероятности одинаковы.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потерянный нулевой исход

Ошибка: в лотерейной задаче поделить призовой фонд на число выигрышных билетов: $180000 : 369 \approx 488 .$
Правильно: величина «выигрыш на один билет» определена для каждого из $5000$ билетов, а не только для выигрышных. Пустые билеты дают значение $0$ и обязаны попасть в знаменатель. Признак ловушки - слова «на один билет», «с одного полиса», «за смену»: они означают, что величина относится ко всем объектам, а не к удачным.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потерянный знак у выплаты

Ошибка: в задаче про страховую компанию посчитать $E (X) = 0, 96 \cdot 3500 + 0, 04 \cdot 56500 .$
Правильно: выплата - убыток, её вклад отрицателен. До вычислений реши, что именно измеряет твоя величина: прибыль компании, её расход или выплату клиенту. Это три разные величины с тремя разными ответами, и на вопрос задачи отвечает только одна.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Округление «до правдоподобного»

Ошибка: получить $E (X) = 0, 52$ десерта и записать в бланк $1 :$ «не бывает половины десерта».
Правильно: математическое ожидание - не прогноз одного исхода, а средний результат серии. Дробное значение здесь нормально, и округлять его нельзя. Округление уместно, только если об этом прямо просит условие.

Что запомнить

$E (X) = x_{1} p_{1} + \dots + x_{n} p_{n}$ - сумма произведений «значение на вероятность». Обозначение $M (X)$ значит ровно то же.
До вычислений проверь, что сумма вероятностей равна $1 :$ одна строка ловит потерянное значение.
Нулевой исход - полноправное значение. «На один билет», «с одного полиса» означают, что в подсчёт входят все объекты.
$E (a X + b) = a E (X) + b :$ линейная замена не требует пересчёта таблицы. $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ верно всегда.
Среднее число успехов в $n$ независимых испытаниях равно $n p .$
$E (X)$ лежит между наименьшим и наибольшим значениями величины - бесплатная проверка ответа.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: по спецификации на задание отводится $8$ минут, подсчёт по готовой таблице занимает $2$ - $3 .$
Считай в целых. Там, где вероятности - доли от общего числа, сложи сначала все выплаты, а раздели один раз в конце.
Выноси общий множитель. Если все значения кратны $100,$ посчитай ожидание для сотен и умножь результат на $100$ в самом конце.
«Сколько в среднем» - это всегда $E (X)$ , даже если термин в условии не назван.
Формат ответа: целое число или конечная десятичная дробь. Полезла бесконечная дробь - ищи ошибку в вероятностях, а не округляй.

Проверь себя0 из 5

1.Величина

X

принимает значения

2

12

с вероятностями

0, 7

0, 3 .

Чему равно

E (X) ?

2.Известно, что

E (X) = 4 .

Чему равно

E (3 X - 5) ?

3.В лотерее

2000

билетов, общий призовой фонд равен

30000

рублей. Чему равно математическое ожидание выигрыша на один билет?

4.Вероятность попадания при одном выстреле равна

0, 3 .

Сколько попаданий в среднем даст серия из

40

выстрелов?

5.Что обязательно верно для математического ожидания?