Логарифмические уравнения и неравенства — ЕГЭ профиль

Логарифмические уравнения и неравенства в прикладных задачах (Задание 10)

Задание 10 проверяет умение работать с формулами из физики, техники и химии. Логарифмы в этом номере встречаются реже, чем показательные или степенные функции, но в банке задач они присутствуют стабильно. Чаще всего это сюжет про работу при изотермическом сжатии газа в водолазном колоколе, реже - задачи про уровень звука в децибелах или про pH.

Главное, что нужно понимать: от тебя не требуется знание физики. Задача чисто алгебраическая - найти в тексте формулу, выписать все известные значения, подставить их и решить полученное логарифмическое уравнение или неравенство.

Основные формулы

Для задания 10 достаточно помнить определение логарифма и одно свойство потенцирования.

ВАЖНОЕ

Определение логарифма

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ - это показатель степени $c,$ в которую нужно возвести $a,$ чтобы получить $b .$

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

(при $a > 0,$ $a \neq = 1,$ $b > 0$ )

ВАЖНОЕ

Потенцирование уравнения

Если уже изолировали логарифм в виде $lo g_{a} f (x) = b,$ то избавляемся от него по определению:

lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}

Это главное действие при решении задачи 10 с логарифмом.

Алгоритм решения

Чтобы не запутаться в длинном тексте задачи, придерживайся чёткого плана.

АЛГОРИТМ

Как решать задачу с логарифмом

1. Выпиши «Дано». Найди в тексте все числа с их буквенными обозначениями. Проверь единицы измерения (обычно переводить ничего не нужно, но сверка не помешает).
2. Подставь числа в формулу. Не пытайся выразить неизвестную переменную через буквы - сразу подставляй числа. Формула визуально сожмётся.
3. Изолируй логарифм. Раздели обе части на числовые коэффициенты перед логарифмом. Справа должно остаться число, слева - только $lo g_{a} (\dots) .$
4. Потенцируй. Представь правую часть как степень основания и приравняй к аргументу логарифма: $lo g_{a} f = b ⟺ f = a^{b} .$
5. Реши оставшееся уравнение. После потенцирования получается линейное или рациональное уравнение - дорешай и запиши ответ.

Примеры решения

Ниже три типовые задачи: два сюжета с основанием $2$ и одна задача на уровень звука с $lo g_{10} .$

ПРИМЕР 1

Поиск конечного давления (основание 2)

Водолазный колокол, содержащий $ν = 2$ моль воздуха при давлении $p_{1} = 1, 5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_{2}$ (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле:

A = α ν T lo g_{2} \frac{p _{2}}{p _{1}}

где $α = 8, 5 Дж / (моль \cdot К)$ - постоянная, $T = 300 К$ - температура воздуха. Найди, какое давление $p_{2}$ будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии была совершена работа в $10200$ Дж. Ответ дай в атмосферах.

Второй пример - та же схема, но теперь неизвестная стоит в знаменателе логарифма.

ПРИМЕР 2

Поиск конечного объёма

Водолазный колокол, содержащий $ν = 5$ моль воздуха объёмом $V_{1} = 32$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_{2}$ (в литрах). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A = α ν T lo g_{2} \frac{V _{1}}{V _{2}},$ где $α = 11, 5 Дж / (моль \cdot К),$ $T = 250 К .$ Найди, какой объём $V_{2}$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии была совершена работа $43125$ Дж. Ответ дай в литрах.

Теперь пример с неравенством и десятичным логарифмом. В условии часто звучит слово «не менее» или «не более» - это всегда знак неравенства.

ПРИМЕР 3

Уровень звука в децибелах (основание 10)

Уровень громкости $L$ (в дБ) звука с интенсивностью $I$ (в Вт/м²) вычисляется по формуле

L = 10 lo g_{10} \frac{I}{I _{0}},

где $I_{0} = 1 0^{- 12}$ Вт/м² - порог слышимости. На концерте установлено ограничение: уровень громкости не должен превышать $90$ дБ. Найди наибольшую допустимую интенсивность $I,$ при которой концерт не нарушает норму. Ответ дай в Вт/м².

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Попытка выразить переменную буквами

Ошибка: Увидев формулу $A = α ν T lo g_{2} \frac{p _{2}}{p _{1}},$ начать алгебраически выражать $p_{2} = p_{1} \cdot 2^{A / (α ν T)}$ и только потом подставлять числа.

Правильно: Это нагромождает многоэтажные дроби и повышает риск ошибки. Всегда сначала подставляй числа, перемножай коэффициенты и работай с компактным уравнением вида $X = Y \cdot lo g_{a} Z .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Снятие логарифма в неравенстве: когда знак меняется

Ошибка: В неравенстве $lo g_{0, 5} x ⩾ 3$ написать $x ⩾ 0, 5^{3} = 0, 125,$ по аналогии с уравнением.

Правильно: Логарифм с основанием $a < 1$ - убывающая функция. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

lo g_{0, 5} x ⩾ 3 ⟺ x ⩽ 0, 5^{3} = 0, 125

Если основание $a > 1$ (логарифм возрастает) - знак сохраняется. Правило одно и то же, что для потенцирования логарифма, что для показательных неравенств.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильное снятие логарифма в уравнении

Ошибка: Получив уравнение $lo g_{2} \frac{x}{5} = 3,$ записать $\frac{x}{5} = 3^{2} = 9$ или $\frac{x}{5} = 2 \cdot 3 = 6 .$

Правильно: Помни правило: «основание в степени значения». Основание $2,$ значение логарифма $3,$ значит $\frac{x}{5} = 2^{3} = 8 .$

Что запомнить

Страшный физический текст - это декорация. Твоя работа: выписать числа, подставить в формулу, изолировать логарифм, потенцировать.
Внимательно смотри, что именно требуется ( $V_{1}$ или $V_{2},$ $p_{1}$ или $p_{2}$ ): они стоят на разных местах в дроби - в числителе или знаменателе.
В неравенстве с $lo g_{a} :$ основание $> 1$ - знак сохраняется, основание $< 1$ - знак меняется.
В задачах на «наибольшее/наименьшее» при условии «не более/не менее» ответ всегда совпадает с границей полученного промежутка.

✓СОВЕТ

Таблица степеней для потенцирования

Перед экзаменом отработай эту таблицу до автоматизма - 90% задач сводятся к одной из этих строк.

$lo g_{2} A = k$	$A$	$lo g_{10} A = k$	$A$
$lo g_{2} A = 2$	$4$	$lo g_{10} A = 2$	$100$
$lo g_{2} A = 3$	$8$	$lo g_{10} A = 3$	$1000$
$lo g_{2} A = 4$	$16$	$lo g_{10} A = - 1$	$0, 1$
$lo g_{2} A = 5$	$32$	$lo g_{10} A = - 2$	$0, 01$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-7 минут.
Приоритет: Решай в первом проходе. Задача кажется объёмной из-за текста, но математическая модель элементарна - почти всегда всё сводится к делению и степени $2$ или $10 .$
Проверка ответа: Если сомневаешься, подставь найденное значение обратно в исходную формулу вместо неизвестной. Посчитай логарифм в уме (через таблицу степеней) и умножь на коэффициенты. Должна получиться заданная работа, уровень громкости или другая величина из условия.
Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь. Если получилось что-то вроде $lo g_{2} 5$ или $\frac{1}{3}$ - ищи арифметическую ошибку.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен

x,

если

lo g_{2} \frac{x}{3} = 4 ?

2.Из уравнения

10200 = 5100 \cdot lo g_{2} \frac{p _{2}}{1 , 5}

следует, что

\frac{p _{2}}{1 , 5}

равно

3.В неравенстве

lo g_{0, 5} x ⩾ 3

при потенцировании знак неравенства

4.Чему равно

lo g_{10} 0, 01 ?