Логарифмические уравнения — ЕГЭ профиль

Суть темы

Логарифмические уравнения в задании 7 первой части ЕГЭ - это базовые уравнения, где неизвестная $x$ находится внутри логарифма (в его аргументе).

Главная цель при решении такого уравнения - избавиться от знака логарифма. Для этого нужно либо применить определение логарифма, либо привести обе части к одному логарифму с одинаковым основанием. В первой части экзамена уравнения подобраны так, что после перехода получается простое линейное уравнение с единственным корнем.

Отдельное внимание уделяется ОДЗ: аргумент логарифма обязан быть строго положительным. Забудешь про это - можно получить «корень», которого на самом деле нет.

Основные формулы

Все решения задания 7 строятся на двух базовых формулах перехода плюс свойствах логарифма, которые помогают свернуть или развернуть выражение.

ВАЖНОЕ

Определение логарифма

Логарифм $lo g_{a} b = c$ показывает, в какую степень $c$ нужно возвести основание $a,$ чтобы получить аргумент $b :$

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

Потяни a и посмотри, как ведёт себя график логарифма

iЗАМЕЧАНИЕ

Ограничения (ОДЗ)

Логарифм существует только при одновременном выполнении трёх условий:

1. Аргумент строго положителен: $b > 0$
2. Основание строго положительно: $a > 0$
3. Основание не равно единице: $a \neq = 1$

В задании 7 основание всегда задано числом, так что тебе остаётся следить только за первым условием - аргументом.

Вторая ключевая формула применяется, когда логарифмы стоят по обе стороны от знака равенства.

ВАЖНОЕ

Равенство логарифмов

Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны и их аргументы:

lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ {f (x) = g (x) f (x) > 0

Условие $g (x) > 0$ следует автоматически из $f (x) = g (x)$ и $f (x) > 0 .$

График, иллюстрирующий равенство логарифмов на примере уравн

А эти три свойства нужны, чтобы свернуть правую часть или объединить несколько логарифмов в один.

ВАЖНОЕ

Свойства логарифмов

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y

lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x

Все три равенства верны при $x > 0,$ $y > 0,$ $a > 0,$ $a \neq = 1 .$

✓СОВЕТ

Число как логарифм

Любое число $c$ можно записать в виде логарифма с нужным основанием: $c = lo g_{a} a^{c} .$ Например, $3 = lo g_{2} 8,$ $- 1 = lo g_{5} \frac{1}{5},$ $2 = lo g_{7} 49 .$ Этот приём полезен, когда в правой части уравнения стоит смесь логарифма и числа.

Алгоритм решения

В первой части нет сложных систем, поэтому алгоритм максимально прямолинеен.

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения логарифмического уравнения

1. Определи тип уравнения.
Если это $lo g_{a} f (x) = c$ (справа число), применяй определение логарифма: $f (x) = a^{c} .$
Если это $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x)$ (справа тоже логарифм), отбрасывай логарифмы: $f (x) = g (x) .$
Если справа стоит смесь логарифма и числа - преобразуй её к одному логарифму через свойства.
2. Реши полученное уравнение. Обычно получается линейное уравнение.
3. Проверь ОДЗ. Подставь найденный $x$ в каждый аргумент логарифма из исходного уравнения и убедись, что значение строго положительное.
4. Запиши ответ. В бланк идёт целое число или конечная десятичная дробь.

Примеры решения

Разбор идёт от простого к более хитрому. Последний пример - с заменой переменной, на всякий случай: такой тип на задании 7 встречается редко, но иногда всплывает.

ПРИМЕР 1

Число справа

Найдите корень уравнения $lo g_{3} (2 x - 5) = 2 .$

ПРИМЕР 2

Логарифмы с двух сторон

Найдите корень уравнения $lo g_{7} (3 - x) = lo g_{7} (x + 15) .$

В следующем примере основание является дробью, а в правой части стоит отрицательное число. Это классическое место для ошибок в вычислениях.

ПРИМЕР 3

Дробное основание, отрицательная степень

Найдите корень уравнения $lo g_{1/2} (4 x + 1) = - 3 .$

ПРИМЕР 4

Замена переменной

Найдите меньший корень уравнения $lo g_{5}^{2} x - lo g_{5} x - 2 = 0 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыл проверить ОДЗ

Ошибка: В уравнении $lo g_{2} (x^{2} - 3 x) = 2$ решить $x^{2} - 3 x = 4,$ получить $x_{1} = 4,$ $x_{2} = - 1$ и записать оба корня в ответ.
Правильно: Нужно проверить каждый корень. Для $x = 4 :$ $16 - 12 = 4 > 0$ - подходит. Для $x = - 1 :$ $1 + 3 = 4 > 0$ - тоже подходит. В этом конкретном уравнении подходят оба, но общий принцип такой: подставляй каждый найденный корень в аргумент и проверяй, что он строго положительный. Отрицательный или нулевой аргумент сразу вычёркивает корень из ответа.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неверное применение определения

Ошибка: Решать уравнение $lo g_{2} (x - 3) = 4$ как $x - 3 = 2 \cdot 4 = 8 ⟹ x = 11$ (основание умножили на результат).
Правильно: Основание нужно возводить в степень: $x - 3 = 2^{4} = 16 ⟹ x = 19 .$ Проверка: $19 - 3 = 16 > 0,$ $lo g_{2} 16 = 4 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря минуса при переносе

Ошибка: При решении уравнения $lo g_{5} (10 - x) = 2$ написать $10 - x = 25 ⟹ x = 25 - 10 ⟹ x = 15 .$
Правильно: При переносе знаки меняются: $- x = 25 - 10 ⟹ - x = 15 ⟹ x = - 15 .$ Проверка: $10 - (- 15) = 25 > 0,$ $lo g_{5} 25 = 2 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Смесь числа и логарифма справа

Ошибка: В уравнении $lo g_{3} (x + 1) = 2 + lo g_{3} 4$ сразу приравнять $x + 1 = 4$ (проигнорировав число 2).
Правильно: Сначала запиши $2 = lo g_{3} 9,$ чтобы правая часть стала одним логарифмом:
$lo g_{3} (x + 1) = lo g_{3} 9 + lo g_{3} 4 = lo g_{3} 36 .$
Теперь можно приравнять аргументы: $x + 1 = 36 ⟹ x = 35 .$

Что запомнить

Логарифм - это степень. Уравнение $lo g_{a} f (x) = c$ всегда превращается в $f (x) = a^{c} .$
Если основания одинаковы ( $lo g_{a} = lo g_{a}$ ), можно отбросить знаки логарифма.
Отрицательная степень переворачивает основание: $(\frac{1}{3})^{- 2} = 3^{2} = 9 .$
Число справа можно превратить в логарифм: $c = lo g_{a} a^{c}$ (например, $2 = lo g_{3} 9$ ).
Свойства $lo g_{a} x y = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ и $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ помогают сворачивать сумму или разность в один логарифм.
Всегда подставляй найденный корень в аргумент логарифма: он должен быть строго положительным.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время: 3-5 минут. Задание базовое, решается в 3-4 строчки.
Действия: Выполни переход от логарифма к алгебре (по определению или равенством аргументов), реши линейное или квадратное уравнение.
Проверка: Вставь ответ в аргумент логарифма из исходного условия. Если аргумент положительный - ответ верный. Если получился ноль или отрицательное число - корень посторонний, ищи ошибку в арифметике или перерешай.
Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь (например, $- 4,$ $0, 2,$ $1, 75$ ). Если получилась дробь вида $\frac{1}{3}$ - где-то арифметический промах.
Когда решать: В самом начале экзамена. Быстрый балл и разминка перед более сложными задачами.

Проверь себя0 из 4

1.Чему равен корень уравнения

lo g_{2} (x - 3) = 4 ?

2.Уравнение

lo g_{1/3} (x + 2) = - 2

сводится к какому равенству?

3.Найден корень уравнения

lo g_{5} (2 x - 1) = 1 .

Как проверить его по ОДЗ?

4.Как переписать число

2

в виде логарифма по основанию

3 ?