Логарифмические неравенства первой и… — ЕГЭ профиль

Логарифмические неравенства первой и второй степени (Задание 16)

Задание 16 проверяет твоё умение решать сложные неравенства. По статистике, логарифмические неравенства - абсолютные лидеры этого номера. Это задание оценивается в 2 первичных балла и требует безупречного алгебраического оформления.

Суть темы и главное правило

Логарифмическое неравенство - это неравенство, в котором неизвестная находится внутри логарифма или в его основании.

Главная сложность логарифмов заключается в их строгих ограничениях (ОДЗ). Логарифм существует далеко не всегда, и потеря ограничений - самая частая причина получения 0 баллов.

ВАЖНОЕ

Ограничения логарифма

Выражение $lo g_{a} f (x)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда выполняется система:

⎩ ⎨ ⎧ f (x) > 0 a > 0 a \neq = 1

Базовое правило избавления от логарифмов (потенцирования) зависит от основания:

Если основание $a > 1$ , функция возрастает. Логарифмы можно отбросить, сохранив знак неравенства:
$lo g_{a} f (x) ⩾ lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) ⩾ g (x)$ (при условии $g (x) > 0$ ).
Если основание $0 < a < 1$ , функция убывает. Логарифмы отбрасываются со сменой знака неравенства:
$lo g_{a} f (x) ⩾ lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) ⩽ g (x)$ (при условии $f (x) > 0$ ).

Два графика логарифмической функции рядом (две панели)

Потяни a и посмотри, почему знак неравенства сохраняется или меняется

Ключевые формулы и методы

Для решения задач второй части тебе регулярно будут нужны свойства логарифмов.

ВАЖНОЕ

Свойства логарифмов

1. $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ (при $x > 0,$ $y > 0$ )
2. $lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ (при $x > 0,$ $y > 0$ )
3. $lo g_{a} (x^{n}) = n \cdot lo g_{a} x$ (при $x > 0$ )
4. $lo g_{a} (x^{2 n}) = 2 n \cdot lo g_{a} ∣ x ∣$ (чётная степень - модуль обязателен!)
5. $lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$
6. Переход к новому основанию: $lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$

Метод рационализации

Это мощнейший инструмент, который позволяет заменять сложные логарифмические выражения на простые скобки. Он работает только если выражение сравнивается с нулём (или участвует в методе интервалов как множитель) и строго с учётом ОДЗ.

ВАЖНОЕ

Таблица рационализации (на ОДЗ)

Знак разности $lo g_{a} f (x) - lo g_{a} g (x)$ совпадает со знаком $(a - 1) (f (x) - g (x))$
Знак логарифма $lo g_{a} f (x)$ совпадает со знаком $(a - 1) (f (x) - 1)$
Произведение $lo g_{a} f (x) \cdot lo g_{b} g (x)$ заменяется на $(a - 1) (f (x) - 1) (b - 1) (g (x) - 1)$
Дробь $\frac{lo g _{a} f ( x )}{lo g _{a} g ( x )}$ заменяется на $\frac{f ( x ) - 1}{g ( x ) - 1}$ (при одинаковом основании $(a - 1)$ сокращается - работает для любого $a$ )

Переменное основание

Если неизвестная стоит в основании логарифма, потенцирование напрямую невозможно - основание может быть как больше, так и меньше единицы. Есть два подхода.

Подход 1. Разбиение на случаи. Неравенство $lo g_{g (x)} f (x) ⩾ c$ равносильно совокупности двух систем:

{g (x) > 1 f (x) ⩾ g (x)^{c} {0 < g (x) < 1 f (x) ⩽ g (x)^{c}

В каждой системе не забудь ОДЗ: $f (x) > 0,$ $g (x) > 0,$ $g (x) \neq = 1 .$

Подход 2. Рационализация. Если неравенство приведено к виду, где логарифмическое выражение сравнивается с нулём, можно применять таблицу рационализации напрямую - она уже учитывает знак основания через множитель $(a - 1) .$ Например:

lo g_{g (x)} f (x) ⩾ 0 ⟺ (g (x) - 1) (f (x) - 1) ⩾ 0

(на ОДЗ: $f (x) > 0,$ $g (x) > 0,$ $g (x) \neq = 1$ )

Рационализация здесь удобнее, потому что избавляет от разбора двух случаев.

Общий алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 16

1. Запиши ОДЗ или ограничения. Выпиши все условия существования логарифмов, знаменателей и корней. Реши эту систему до конца или перейди к равносильным переходам.
2. Упрости неравенство. Приведи логарифмы к одному основанию, вынеси степени, разложи на множители.
3. Выбери метод. Если логарифмы одинаковые - сделай замену $t = lo g_{a} x .$ Если неравенство дробно-логарифмическое - перенеси всё в одну сторону, приведи к общему знаменателю и примени метод рационализации.
4. Реши алгебраическое неравенство. Найди нули числителя и знаменателя, нанеси на ось, расставь знаки методом интервалов.
5. Сделай обратную замену. Реши простейшие неравенства для $x .$
6. Пересеки с ОДЗ. Нанеси полученный результат и ОДЗ на одну числовую прямую. Запиши итоговый ответ.

Примеры решения

Ниже разобраны два классических типа: решение через свойства (с равносильными переходами) и метод замены переменной.

ПРИМЕР 1

Свойства логарифмов и равносильные переходы

Условие:
Решите неравенство $2 lo g_{2} (x 5) - lo g_{2} (\frac{x}{1 - x}) ⩽ lo g_{2} (5 x^{2} + \frac{1}{x} - 2) .$

ПРИМЕР 2

Метод замены переменной

Условие:
Решите неравенство $1 + \frac{6}{lo g _{3} x - 3} + \frac{5}{lo g _{3}^{2} x - lo g _{3} ( 27 x ^{6} ) + 12} ⩾ 0 .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вынесение чётной степени без модуля

Ошибка: Написать $lo g_{2} (x^{2}) = 2 lo g_{2} x .$ Если по ОДЗ $x$ мог быть отрицательным, ты только что отрезал половину решений.
Правильно: $lo g_{2} (x^{2}) = 2 lo g_{2} ∣ x ∣ .$ Всегда проверяй общее ОДЗ перед тем, как скидывать чётную степень!

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря изолированной точки

Ошибка: При решении неравенства $\frac{( x - 5 ) ^{2}}{x - 2} ⩽ 0$ сократить квадрат и получить только $x < 2 .$
Правильно: Точка $x = 5$ обращает числитель в $0,$ а значит всё выражение равно $0 .$ Знак $⩽$ включает равенство! Правильный ответ: $x \in (- \infty; 2) \cup {5} .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 16

Время выполнения: 15-20 минут.
Очерёдность: Решай сразу после 14 и 15 заданий. Это понятный алгоритмичный номер.
Проверка: Если ответ получился в виде красивых интервалов, возьми по одному числу из каждого промежутка и подставь в самое первое исходное неравенство. Это займет 2 минуты, но спасёт баллы.
Оформление: Не делай несколько логических шагов в уме. Эксперт должен чётко видеть: как найдено ОДЗ, как сделана замена, как решено неравенство для новой переменной, как сделана обратная замена. Рисуй оси для метода интервалов прямо в чистовике.

За что дают баллы

В 16 задании можно получить от 0 до 2 баллов:

2 балла: Ты выписал правильные ограничения, логично пришёл к верному ответу без математических ошибок.
1 балл: Решение абсолютно верное по логике, но допущена ровно одна вычислительная ошибка (например, $2 + 3 = 6$ ). Либо получен ответ, который отличается от правильного только тем, что ты включил выколотую точку или выколол закрашенную (потерял граничную точку).
0 баллов: Ошибка в свойствах логарифмов, забыто ОДЗ, неверно применён метод интервалов или получен неправильный ответ без записей решения.

Проверь себя0 из 4

1.При каком условии в неравенстве

lo g_{a} f (x) ⩾ lo g_{a} g (x)

логарифмы отбрасываются со сменой знака?

2.Чему равно

lo g_{3} (x^{2}),

если про знак

x

ничего не известно (кроме

x \neq = 0

3.На ОДЗ знак выражения

lo g_{a} f (x)

совпадает со знаком:

4.Решением неравенства

\frac{( x - 5 ) ^{2}}{x - 2} ⩽ 0

является: