Линейные уравнения и неравенства — ЕГЭ профиль

Суть темы

Задание 10 - это прикладная задача с формулой из физики, экономики или техники. Тебе не нужно знать сам физический закон: формула, все обозначения и единицы измерения уже даны в условии. Твоя работа чисто алгебраическая - подставить числа и решить уравнение или неравенство.

Подтип с линейными уравнениями и линейными неравенствами - самый простой в этом задании. Неизвестная входит в формулу в первой степени (или стоит в знаменателе простой дроби, которая легко превращается в линейное соотношение). Главная сложность здесь не алгебра, а аккуратный перевод фраз «не менее», «не более», «наименьшее», «наибольшее» в знаки $⩽,$ $⩾$ и в правильный выбор ответа.

Линейные модели в задании 10

В формулах этого подтипа встречаются три базовые модели.

ВАЖНОЕ

Линейная зависимость

y = k x + b

Здесь $k$ и $b$ - заданные числа (параметры), а $x$ и $y$ - переменные. Именно по этой схеме устроено, например, тепловое расширение: $l (t) = l_{0} (1 + α t) .$

ВАЖНОЕ

Прямая пропорциональность

y = k x

Частный случай линейной зависимости при $b = 0 .$ Пример - закон Гука для пружины: $F = k x,$ где $x$ - удлинение.

ВАЖНОЕ

Обратная пропорциональность

y = \frac{k}{x}

Неизвестная в знаменателе. Формально это не линейное уравнение, но после умножения обеих частей на $x$ оно становится линейным. Пример - закон Ома: $I = \frac{U}{R} .$

От слов к знакам

Ключевой навык в этом задании - услышать в условии нужный знак неравенства. Держи в голове короткий словарь.

Фраза в условии	Знак	Что ищем в ответе
«не более», «не превышает», «не больше чем»	$⩽$	обычно наибольшее значение
«не менее», «не меньше чем», «хотя бы»	$⩾$	обычно наименьшее значение
«строго больше», «превышает»	$>$	-
«строго меньше»	$<$	-

Если в задаче просят найти наименьшее значение, а ответ получился в виде $x ⩾ a,$ то ответ - это $a .$ Если ищут наибольшее при $x ⩽ a,$ ответ тоже $a .$ Край интервала и есть то число, которое просят записать в бланк.

✓СОВЕТ

Лайфхак

Подчеркни в условии слова-маркеры («не менее», «наименьшее») прямо в черновике. Это снимает половину ошибок из-за невнимательного чтения.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения линейной прикладной задачи

1. Выпиши формулу и «дано». На черновике слева столбиком - буквы и их значения с единицами измерения, справа - сама формула.
2. Согласуй единицы измерения. Если в формуле требуются метры, а в условии даны миллиметры, - переводи сразу, до подстановки.
3. Выбери знак. По словам-маркерам реши, составляешь ты уравнение (когда хотят «ровно столько») или неравенство (когда «не менее / не более»).
4. Подставь числа в формулу. Все известные буквы замени конкретными значениями, неизвестную оставь буквой.
5. Реши линейную конструкцию. Раскрой скобки, собери неизвестную в одной части, свободные числа - в другой. Если пришлось умножить или разделить обе части на отрицательное число, смени знак неравенства.
6. Выбери ответ по вопросу задачи. Прочитай последнюю фразу ещё раз. Спрашивают «наименьшее» - бери левый конец, «наибольшее» - правый. Проверь ответ подстановкой в исходную формулу.

Примеры решения

Три сюжета: линейное уравнение, линейное неравенство и задача, где неизвестная изначально стоит в знаменателе.

ПРИМЕР 1

Линейное уравнение (тепловое расширение)

Длина стального рельса при температуре $0^{\circ} C$ равна $l_{0} = 12, 5$ м. При нагревании длина меняется по закону

l (t) = l_{0} (1 + α t),

где $α = 1, 2 \cdot 1 0^{- 5}^{\circ} C^{- 1}$ - коэффициент теплового расширения, $t$ - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $6$ мм? Ответ дай в градусах Цельсия.

Решение:

Удлинение - это разность $l (t) - l_{0} .$ Вычтем $l_{0}$ из обеих частей формулы:

l (t) - l_{0} = l_{0} \cdot α \cdot t

В формуле длина выражается в метрах, поэтому миллиметры переведём в метры: $6 мм = 0, 006 м .$ Подставим всё известное:

0, 006 = 12, 5 \cdot 1, 2 \cdot 1 0^{- 5} \cdot t

Сосчитаем произведение коэффициентов: $12, 5 \cdot 1, 2 = 15,$ значит $12, 5 \cdot 1, 2 \cdot 1 0^{- 5} = 15 \cdot 1 0^{- 5} .$ Уравнение становится линейным относительно $t :$

0, 006 = 15 \cdot 1 0^{- 5} \cdot t

Выразим $t :$

t = \frac{0 , 006}{15 \cdot 1 0 ^{- 5}} = \frac{6 \cdot 1 0 ^{- 3}}{15 \cdot 1 0 ^{- 5}} = \frac{6}{15} \cdot 1 0^{2} = 0, 4 \cdot 100 = 40

Проверка: $l (40) = 12, 5 \cdot (1 + 1, 2 \cdot 1 0^{- 5} \cdot 40) = 12, 5 \cdot (1 + 0, 00048) = 12, 506 .$ Удлинение $12, 506 - 12, 5 = 0, 006$ м $= 6$ мм. Сошлось.

Ответ: $40$

ПРИМЕР 2

Линейное неравенство (закон Ома)

Сила тока $I$ (в амперах) в электросети вычисляется по закону Ома: $I = \frac{U}{R},$ где $U$ - напряжение (в В), $R$ - сопротивление прибора (в Ом). Сеть работает, пока сила тока не превышает $8$ А. Найди наименьшее сопротивление прибора, подключаемого к сети с напряжением $120$ В, при котором сеть продолжит работать. Ответ дай в омах.

ПРИМЕР 3

Линейное неравенство (тариф таксопарка)

Стоимость поездки в такси (в рублях) вычисляется по формуле

C (S) = a + b \cdot S,

где $a = 120$ - фиксированная плата за подачу (в руб.), $b = 25$ - цена за километр (в руб./км), $S$ - длина поездки в километрах. Клиент готов заплатить не более $620$ рублей. Найди наибольшее расстояние, на которое он может проехать. Ответ дай в километрах.

Графическая трактовка неравенства C(S) <= 620

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли сменить знак при умножении на отрицательное

Ошибка: В неравенстве вида $- 3 x ⩾ 12$ делят обе части на $- 3$ и записывают $x ⩾ - 4 .$

Правильно: При делении (или умножении) обеих частей неравенства на отрицательное число знак обязательно меняется на противоположный. Корректный переход:

- 3 x ⩾ 12 ⟺ x ⩽ - 4

Проверь на частном значении: $x = - 5$ подходит ( $- 3 \cdot (- 5) = 15 ⩾ 12$ ), а $x = 0$ уже не подходит ( $0 ⩾ 12$ - неверно). Знак действительно $⩽ .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Равенство вместо неравенства

Ошибка: В задачах со словами «не более / не менее» сразу ставить знак равенства и решать уравнение. Когда неизвестная в знаменателе или коэффициент перед ней отрицательный, это может привести к неверному концу интервала.

Правильно: Составляй именно неравенство. Доведи его до конструкции $x ⩾ a$ или $x ⩽ a,$ и только потом выбирай наименьшее или наибольшее значение.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибки при делении на десятичную дробь

Ошибка: Вычисляя $\frac{12}{2 , 5},$ получить $4, 08$ или ошибиться в положении запятой.

Правильно: Избавляйся от запятой в знаменателе перед делением. Умножь числитель и знаменатель на $10 :$ $\frac{12}{2 , 5} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} = 4, 8 .$

Что запомнить

Пиши «дано» столбиком, как на физике: это структурирует данные и спасает от путаницы.
Сверяй единицы измерения до подстановки. Миллиметры - в метры, минуты - в секунды, километры - в метры.
«Не более», «не превышает» $⟹ ⩽;$ «не менее», «не меньше» $⟹ ⩾ .$
Умножение или деление неравенства на отрицательное число переворачивает знак.
Край получившегося промежутка и есть искомое наибольшее (или наименьшее) значение.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 3-5 минут. Линейный подтип - самый быстрый в задании 10.
Приоритет: Решай одним из первых. Это почти гарантированный балл, если не спешить с чтением условия.
Проверка: Подставь найденный ответ обратно в формулу и в исходные слова условия. Для примера 2: если $R = 15$ Ом, то $I = 120/15 = 8$ А - ровно предельно допустимо; чуть меньшее $R$ даёт ток больше $8$ А, значит сеть уже не работает. Это и подтверждает, что $15$ - наименьшее допустимое сопротивление.
Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь. Если получилось что-то вроде $\frac{50}{3},$ ищи арифметическую ошибку или проверяй, верно ли ты понял, что именно требуется найти (удлинение, а не полную длину; разность, а не одно из значений).

Проверь себя0 из 4

1.Фраза «сила тока не превышает

8

А» переводится в неравенство…

2.Реши неравенство

- 3 x ⩾ 12 .

3.Решение свелось к

R ⩾ 15,

а в задаче просят наименьшее допустимое сопротивление. Что записать в ответ?

4.Чему равно

\frac{12}{2 , 5} ?