Линейные, квадратные и кубические уравнения (Задание 7)
В первой части ЕГЭ (задание 7) проверяется умение решать простейшие уравнения. Чаще всего здесь встречаются показательные, логарифмические или иррациональные уравнения. Но за ними скрывается фундамент - линейные, квадратные и кубические уравнения. Без них не решится практически ни одна задача второй части.
В задании 7 такие уравнения маскируются: квадратное может прийти в виде равенства двух скобок, кубическое - в виде скобки в третьей степени. Умение быстро их распознавать и решать без ошибок экономит время и даёт гарантированный балл.
Основные формулы
Для уверенного решения нужно наизусть знать формулы корней, теорему Виета и формулы сокращённого умножения.
ВАЖНОЕ
Формулы сокращённого умножения
Квадрат суммы и разности:
(a±b)2=a2±2ab+b2Куб суммы и разности:
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3Разность квадратов:
a2−b2=(a−b)(a+b)ВАЖНОЕ
Дискриминант и корни квадратного уравнения
Для уравнения ax2+bx+c=0 (при a=0):
D=b2−4acx1,2=2a−b±DПри D>0 - два корня, D=0 - один, D<0 - действительных корней нет.
ВАЖНОЕ
Теорема Виета
Если x1 и x2 - корни приведённого уравнения x2+px+q=0, то:
x1+x2=−pиx1⋅x2=qДля неприведённого ax2+bx+c=0:
x1+x2=−ab,x1⋅x2=ac✓СОВЕТ
Когда Виета быстрее дискриминанта
Если старший коэффициент равен 1 и коэффициенты небольшие, корни обычно целые. Подбирай пары целых чисел, произведение которых даёт q, а сумма −p. Для x2−11x+28=0: произведение 28=4⋅7, сумма 4+7=11 - корни 4 и 7.
ВАЖНОЕ
Кубическое уравнение вида (x+a)3=b
Чтобы найти x, нужно извлечь кубический корень из обеих частей. Знак числа b сохраняется, никакого ± не появляется:
x+a=3b⟹x=3b−aВАЖНОЕ
Теорема Безу
Если число x0 - корень многочлена P(x), то P(x) делится без остатка на (x−x0):
P(x)=(x−x0)⋅Q(x)где Q(x) - многочлен на одну степень ниже. Для кубического уравнения Q(x) оказывается квадратным.
Алгоритм решения
АЛГОРИТМ
Алгоритм распознавания и решения
1. Определи тип уравнения. Посмотри на старшую степень x после раскрытия скобок: 1 - линейное, 2 - квадратное, 3 - кубическое.
2. Упрости. Для линейного с дробями - умножь на общий знаменатель или применяй свойство пропорции (крест-накрест). Для квадратного - раскрой скобки и собери всё слева, чтобы справа был 0. Для кубического вида (cx+d)3=A - не раскрывай скобку, сразу извлекай кубический корень.
3. Реши стандартным способом. Линейное - перенос и деление. Квадратное - дискриминант или Виета. Кубическое со свободным членом - подбери целый корень из делителей свободного члена, раздели по теореме Безу и решай получившееся квадратное.
4. Прочитай условие заново. Если уравнение квадратное, выбери тот корень, который просят: больший, меньший или их сумму.
5. Проверь подстановкой. Подставь x в исходное уравнение. Десять секунд проверки спасают балл.
Примеры решения
Три типичные задачи от простой к более содержательной.
ПРИМЕР 1
Линейное уравнение в виде пропорции
Условие:
Найди корень уравнения 4x−3=5x+2.
ПРИМЕР 2
Кубическое уравнение
Условие:
Найди корень уравнения (x−2)3=−216.
ПРИМЕР 3
Квадратное уравнение с выбором корня
Условие:
Реши уравнение (x−4)2=3x−12. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запиши больший из них.
ПРИМЕР 4
Кубическое уравнение с подбором корня
Условие:
Найди наибольший корень уравнения x3−4x2+x+6=0.
Частые ошибки
На этих уравнениях балл чаще всего теряется из-за знаков и свойств степеней.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Потеря корня при извлечении квадратного корня
Ошибка: Из x2=25 получать только x=5.
Правильно: Чётная степень даёт два варианта знака: x2=a⟹x=±a при a⩾0. Для x2=25 корни x=5 и x=−5. Аналогично (x−2)2=16 даёт x−2=4 и x−2=−4.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Лишний знак ± в кубическом уравнении
Ошибка: При решении (x+1)3=8 писать x+1=±2.
Правильно: Нечётные степени сохраняют знак и имеют единственный действительный корень. y3=8⟹y=2. y3=−8⟹y=−2. Никаких «плюс-минус».
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Сокращение на выражение с переменной
Ошибка: В (x−4)2=3(x−4) разделить обе части на (x−4) и получить только x=7.
Правильно: Делить на выражение с переменной запрещено - оно может быть равно нулю. При таком делении теряется корень, обнуляющий это выражение (здесь x=4). Переноси всё в одну сторону и выноси общий множитель.
Что запомнить
1. (x+a)3=b решается в одно действие - извлечением кубического корня. Знак числа b переходит в ответ без изменений.
2. При извлечении корня чётной степени не забывай про ±.
3. Кубическое уравнение в общем виде: сначала подбор целого корня из делителей свободного члена, затем деление по теореме Безу на (x−x0), затем решение оставшегося квадратного уравнения.
4. Теорема Виета быстрее дискриминанта, когда старший коэффициент 1 и видно пару целых множителей.
5. Если корней несколько, внимательно перечитай условие: просят больший, меньший или, например, сумму.
6. Ответ в первой части ЕГЭ всегда целый или конечная десятичная дробь (2,5, −0,4). Если вышло 31, ищи ошибку.
Стратегия на экзамене
✓СОВЕТ
Стратегия
- Ориентировочное время: 2-4 минуты.
- Приоритет: решай это задание одним из первых - отличная разминка перед сложными вычислениями.
- Выбор метода: для квадратного уравнения с целыми коэффициентами сначала попробуй Виета в уме; если корни нецелые или большие - переходи на дискриминант.
- Проверка: самый надёжный способ - подставить найденный x в исходное уравнение. Если левая часть сошлась с правой, балл у тебя в кармане. Делай проверку на черновике всегда.
Проверь себя0 из 4
1.Сколько действительных корней у уравнения (x+1)3=−27?
2.Чему равна сумма корней уравнения x2−11x+28=0?
3.Как правильно решать уравнение (x−4)2=3(x−4)?
4.Где искать целые корни уравнения x3−4x2+x+6=0?