Линейные функции — ЕГЭ профиль

Линейные функции на графиках

В задании 12 нужно работать с графиками функций: находить неизвестные коэффициенты и вычислять значения. На экзамене встречаются параболы, гиперболы, логарифмы и корни, но линейная функция - это самый простой и приятный тип задач в этом номере.

Задания на прямую составляют небольшую долю от общего числа задач, но встречаются и в чистом виде, и в комбинации с графиком другой функции (например, прямая плюс гипербола в задаче на пересечение).

Суть темы и основные формулы

Графиком линейной функции является прямая. Чтобы задать прямую, достаточно двух точек. В вариантах ЕГЭ эти точки уже заботливо выделены жирно - это узлы координатной сетки (точки с целыми координатами).

ВАЖНОЕ

Уравнение линейной функции

f (x) = k x + b

$k$ - угловой коэффициент (отвечает за наклон прямой).
$b$ - свободный член (ордината точки пересечения прямой с осью $Y$ ).

ВАЖНОЕ

Наклон через две точки

Если прямая проходит через две точки $(x_{1}; y_{1})$ и $(x_{2}; y_{2}),$ угловой коэффициент вычисляется как отношение приращений:

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{Δ y}{Δ x}

На практике: достраиваешь между двумя узлами решётки прямоугольный треугольник, считаешь клеточки по вертикали ( $Δ y$ ) и по горизонтали ( $Δ x$ ), делишь. Если прямая идёт вверх (возрастает), $k > 0 .$ Если вниз (убывает), не забудь поставить минус: $k < 0 .$

Потяни k и b и посмотри, как меняется наклон и сдвиг прямой

Коэффициент $b$ проще: это ордината точки, в которой прямая пересекает ось $Y .$

Если прямая пересекает ось $Y$ в узле решётки, просто считай значение с графика.
Если пересечение не в узле (или ось $Y$ вообще не поместилась на рисунке), подставь координаты любой известной точки $(x; y)$ и уже найденный $k$ в уравнение $y = k x + b$ и вырази $b$ алгебраически.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Иногда в условии задачи одна прямая задана графиком, а вторая - параметрически: «параллельна графику функции...» или «перпендикулярна ей». Два правила, которые закрывают эти случаи:

ВАЖНОЕ

Параллельные и перпендикулярные прямые

Пусть две прямые заданы уравнениями $y = k_{1} x + b_{1}$ и $y = k_{2} x + b_{2} .$

Параллельны $⟺ k_{1} = k_{2}$ (равные угловые коэффициенты, разные свободные члены).
Перпендикулярны $⟺ k_{1} \cdot k_{2} = - 1 .$

Одна координатная плоскость с клеточной сеткой, две группы п

Если нужно составить уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку $M (x_{0}; y_{0}) :$ бери тот же $k,$ а $b$ находи подстановкой координат $M .$

Для перпендикулярной прямой: $k_{⊥} = - \frac{1}{k} .$ То есть «перевернуть и сменить знак».

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачи на линейную функцию

1. Найди узловые точки. Выбери две точки на графике, которые лежат ровно в пересечениях клеточек (обычно они уже жирно отмечены).
2. Вычисли коэффициент $k .$ Дострой прямоугольный треугольник, раздели вертикаль на горизонталь. Обязательно проверь знак: вверх - плюс, вниз - минус.
3. Найди коэффициент $b .$ Посмотри на пересечение с осью $Y$ (если там узел) или вычисли алгебраически подстановкой.
4. Запиши готовую формулу. Теперь у тебя есть уравнение вида $f (x) = 2 x - 3 .$
5. Проверь по третьей точке. Возьми любой другой узел на графике, подставь его $x$ в формулу. Если получается нужный $y$ - уравнение составлено верно.
6. Ответь на вопрос задачи. Если просят найти $f (10)$ - подставь $x = 10 .$ Если нужна точка пересечения двух прямых - приравняй уравнения.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Значение функции по графику

На рисунке изображён график функции вида $f (x) = k x + b .$ Найди значение $f (8) .$

ПРИМЕР 2

Точка пересечения двух прямых

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A .$ Найди абсциссу точки $A .$

Подвигай прямые и посмотри, как меняется точка их пересечения

ПРИМЕР 3

Параллельная прямая

Прямая $y = k x + b$ параллельна прямой, изображённой на рисунке, и проходит через точку $M (3; 5) .$ Найди $f (- 2) .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря минуса при убывающей функции

Ошибка: Посчитать клеточки для катетов, разделить одно на другое и записать $k = 2$ для прямой, которая идёт вниз слева направо.

Правильно: Перед поиском $k$ задай вопрос: прямая в гору или под гору? Под гору - сразу пиши знак минус: $k = - 2 .$ Формула $k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ даёт правильный знак автоматически, если аккуратно подставить координаты с их знаками.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Определение

b

«на глаз»

Ошибка: Посмотреть на график, увидеть, что прямая проходит где-то между $1$ и $2$ по оси $Y,$ и записать $b = 1, 5 .$

Правильно: Если прямая не проходит ровно через узел решётки на оси $Y,$ визуально определять $b$ нельзя. Считай алгебраически: подставь координаты любого жирно отмеченного узла и найденное $k$ в уравнение $y = k x + b .$

Что запомнить

Уравнение прямой: $y = k x + b .$
Угловой коэффициент: $k = \frac{Δ y}{Δ x}$ - вертикальный катет делить на горизонтальный.
Возрастает $⟹ k > 0;$ убывает $⟹ k < 0 .$
Свободный член $b$ - ордината точки пересечения с осью $Y .$
Параллельные: $k_{1} = k_{2} .$ Перпендикулярные: $k_{1} \cdot k_{2} = - 1 .$
Пересечение двух прямых: приравнять уравнения, $f (x) = g (x) .$
Абсцисса - это $x,$ ордината - это $y .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 3-5 минут. Одно из самых быстрых заданий первой части.
Очерёдность: Решай сразу. Алгоритм прозрачный, сложных вычислений нет. Главное - аккуратно считать клеточки и не перепутать знаки.
Опорные точки: Только жирно отмеченные узлы решётки. Точки «на глаз» в миллиметре от перекрестья клеток дают неверный $k .$
Проверка ответа: Возьми третью точку на графике (которую ты не использовал для составления уравнения) и подставь её координаты в найденную формулу. Если сошлось - всё верно.

Проверь себя0 из 4

1.Прямая проходит через точки

(1; 2)

(3; 8) .

Чему равен угловой коэффициент

k ?

2.График функции

y = k x + b

пересекает ось

Y

в точке

(0; - 4) .

Чему равен

b ?

3.Прямая параллельна прямой

y = - 3 x + 1 .

Каким может быть её уравнение?

4.Прямые

y = 2 x - 3

y = - 2 x + 2

пересекаются в точке с абсциссой: