Квадратные и степенные уравнения и… — ЕГЭ профиль

Суть темы

Задание 10 проверяет умение работать с физическими, экономическими или техническими формулами. Суть задачи всегда одна: дана формула, даны значения почти всех входящих в неё величин, и нужно найти одну оставшуюся неизвестную.

Этот конспект посвящён задачам, которые сводятся к квадратному уравнению или неравенству. Чаще всего они описывают равноускоренное движение (бросок мяча или камня) или нагрев прибора со временем. Сложность здесь не в самой математике, а в понимании физического смысла полученных корней: в ответ почти никогда не идёт формальный «больший» или «меньший» корень - его выбирают по условию.

Основные формулы

Формулы из условия всегда даны, но для работы с ними нужно уверенно знать два школьных факта - как найти корни квадратного уравнения и как решать квадратное неравенство.

ВАЖНОЕ

Корни квадратного уравнения

Для уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ дискриминант и корни вычисляются так:

D = b^{2} - 4 a c

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Если $D < 0,$ действительных корней нет. Если $D = 0,$ корень один (двукратный).

ВАЖНОЕ

Квадратное неравенство через параболу

Пусть $x_{1} ⩽ x_{2}$ - корни уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ при $a > 0 .$ Тогда:

a x^{2} + b x + c ⩽ 0 ⟺ x \in [x_{1}; x_{2}]

a x^{2} + b x + c ⩾ 0 ⟺ x \in (- \infty; x_{1}] \cup [x_{2}; + \infty)

Если старший коэффициент отрицательный ( $a < 0$ ), домножь неравенство на $- 1$ и не забудь сменить знак.

Потяни a, b, c и посмотри, как парабола меняет ветви, вершину и корни

Метод интервалов для квадратного неравенства

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения квадратной прикладной задачи

1. Выпиши формулу и «дано». На черновике слева столбиком - буквы с их значениями и единицами измерения, справа - сама формула.
2. Составь уравнение или неравенство. Подставь все известные числа. Если в вопросе есть слова «не менее», «не более», «не превышает», «свыше» - составляй неравенство.
3. Приведи к стандартному виду. Собери всё в одной части: $a t^{2} + b t + c = 0$ (или $⩽ 0,$ $⩾ 0$ ). Если старший коэффициент отрицательный, сразу домножь на $- 1$ и поменяй знак неравенства - это уменьшит риск ошибки с минусами.
4. Найди корни. Через дискриминант или по теореме Виета. Числа в задании 10 почти всегда подобраны так, что $D$ извлекается нацело.
5. Отбери корни по физическому смыслу. Время $t ⩾ 0,$ скорость, длина, масса, концентрация - величины неотрицательные. Отрицательный корень сразу отбрасывай.
6. Выбери ответ по вопросу задачи. «В какой момент» - подставляй конкретный корень. «Сколько секунд длится» - разность корней. «Не позднее какого момента отключить» - меньший из корней и т.д. Проверь формат: целое число или конечная десятичная дробь.

Примеры решения

Два самых частых сюжета в этой подтеме - полёт тела и нагрев прибора. Числа в этих задачах подобраны так, чтобы дискриминант извлекался нацело.

ПРИМЕР 1

Полет мяча (длительность)

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h (t) = 2 + 14 t - 5 t^{2},$ где $h$ - высота в метрах, $t$ - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $10$ метров?

ПРИМЕР 2

Нагревательный элемент (ловушка с корнями)

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:

T (t) = T_{0} + b t + a t^{2}

где $t$ - время (в минутах), $T_{0} = 1200$ К, $a = - 5$ К/мин $^{2},$ $b = 100$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1680$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Отрицательный корень - не ответ

Ошибка: Решая уравнение на время полёта или срок работы прибора, получить два корня (например, $t_{1} = - 3$ и $t_{2} = 5$ ) и записать в ответ наибольший по модулю (число $- 3$ ) или вовсе не задуматься о знаке.

Правильно: Отрицательное время, отрицательная масса, отрицательная скорость в прикладных задачах смысла не имеют. Такой корень отбрасывай сразу и переходи к положительному. Если оба корня отрицательны - ищи арифметическую ошибку: для реальной задачи так быть не должно.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сколько секунд против на какой секунде

Ошибка: В задаче про мяч найти корни $t_{1} = 1$ и $t_{2} = 3$ и записать в ответ больший корень ( $3$ ), когда спрашивали «сколько секунд мяч находился на высоте не менее...».

Правильно: «Сколько секунд длится процесс» - это разность корней. Мяч взлетел на нужную высоту на $1$ -й секунде, а пересёк её сверху вниз на $3$ -й: $Δ t = 3 - 1 = 2$ секунды.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ловушка «наибольшего времени» в задаче про прибор

Ошибка: В задачах на нагрев машинально выбирать больший корень из-за слова «наибольшее время» в условии.

Правильно: Прибор ломается в момент, когда температура впервые превышает допустимую. Это меньший корень. Больший корень показывает, когда парабола температуры формально опустилась бы обратно до критического уровня - но к тому моменту реального прибора уже нет. В ответ идёт меньший положительный корень.

Что запомнить

Если старший коэффициент квадратного уравнения отрицательный, сразу умножай обе части на $- 1$ и меняй знак неравенства. Это снижает число ошибок с дискриминантом и корнями.
Отрицательный корень в задаче на время, массу, длину - отбрасывай без сожалений.
«В какой момент» - подставляй нужный корень целиком. «Сколько длится» - считай разность корней. «До какого момента безопасно работать» - меньший положительный корень.
В задачах на ограничения (предельная температура, предельное давление, предельное ускорение) ответом почти всегда является меньший из двух положительных корней.
Схематический эскиз параболы (ветви вверх или вниз, корни на оси) за $20$ секунд экономит минуту на интерпретации.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Ориентировочное время: 5-7 минут. Подтип чуть дольше линейного из-за дискриминанта.
Приоритет: Решай в первой половине экзамена. Балл здесь надёжный, если не попасться в логическую ловушку с выбором корня.
Проверка ответа: Подставь найденное значение $t$ в исходную формулу - должно получиться заданное граничное значение (высота, температура). Если получилось «некрасивое» число (корень или бесконечная дробь), ищи ошибку в подстановке или арифметике.
Здравый смысл: Время падения предмета редко превышает $10$ секунд, а разогрев прибора обычно занимает минуты, а не часы. Ответ в $500$ секунд или $0, 001$ минуту - повод перепроверить единицы.
Формат ответа: Только целое число или конечная десятичная дробь.

Проверь себя0 из 4

1.Высота мяча меняется по закону

h (t) = 2 + 14 t - 5 t^{2} .

Неравенство

h (t) ⩾ 10

дало корни

t_{1} = 0, 8

t_{2} = 2 .

Сколько секунд мяч был на высоте не менее

10

м?

2.При решении неравенства

- 5 t^{2} + 100 t - 480 ⩽ 0

обе части умножили на

- 1 .

Что нужно сделать со знаком неравенства?

3.Прибор перегревается при температуре свыше критической. Уравнение «температура равна критической» дало корни

t_{1} = 8

t_{2} = 12 .

Не позднее какой минуты нужно отключить прибор?

4.Уравнение на время полёта дало корни

t_{1} = - 3

t_{2} = 5 .

Что делать с корнем

- 3 ?