Кредиты с равными платежами — ЕГЭ профиль

Кредиты с равными платежами (Задание 13)

Кредит в тринадцатом номере устроен коротко: срок два-три года, ставка круглая, все платежи одинаковые, а в бланк уходит одно число. Спрашивают почти всегда что-то из четырёх: размер одного платежа, первоначальную сумму кредита, общую сумму выплат (или переплату) и остаток долга после очередного платежа. Модель у всех четырёх вопросов одна и та же, поэтому строить её надо один раз - дальше меняется только то, какую букву считать неизвестной.

Год кредита - это два действия

Что бы ни было написано в условии про январь, февраль и декабрь, каждый год кредита состоит ровно из двух действий, и порядок у них жёсткий: сначала банк начисляет процент на остаток долга, потом клиент вносит платёж.

ВАЖНОЕ

Коэффициент увеличения долга

k = 1 + \frac{r}{100}

Здесь $r$ - процентная ставка за период. Начисление процента - это умножение остатка долга на $k .$

При $r = 20$ получаем $k = 1, 2;$ при $r = 10$ выходит $k = 1, 1;$ при $r = 25$ будет $k = 1, 25 .$

Обозначим сумму кредита через $S,$ одинаковый платёж - через $x,$ а остаток долга после $m$ -го платежа - через $S_{m} .$ Тогда каждый год пересчитывает остаток по одному правилу:

S_{m} = S_{m - 1} \cdot k - x

Один год кредита: сначала процент на остаток, потом платёж

iЗАМЕЧАНИЕ

Проценты идут только на остаток

Банк начисляет процент не на исходную сумму кредита, а на то, что клиент ещё не вернул. Долг уменьшается - уменьшается и начисление. Это главное отличие кредита от простой задачи «прибавь $20%$ три раза».

Главное уравнение

Раскроем правило пересчёта на три года. Пусть кредит взят на $n = 3$ года:

после первого платежа $S_{1} = S k - x;$
после второго $S_{2} = (S k - x) k - x = S k^{2} - x k - x;$
после третьего $S_{3} = S k^{3} - x k^{2} - x k - x .$

Кредит погашен полностью, значит $S_{3} = 0 .$ Перенесём платежи вправо - получится равенство, которым решается любая задача этого типа.

ВАЖНОЕ

Уравнение полного погашения за

n

периодов

S \cdot k^{n} = x (k^{n - 1} + k^{n - 2} + \dots + k + 1)

Слева - долг, доросший до конца срока, справа - все платежи, доросшие туда же. Сумма в скобках - геометрическая прогрессия, её можно свернуть:

k^{n - 1} + \dots + k + 1 = \frac{k ^{n} - 1}{k - 1}

Долг и платежи, доросшие до конца срока, уравновешивают друг друга

Степеней в задании 13 нужно немного, и все они считаются устно:

Ставка $r$	$k$	$k^{2}$	$k^{3}$	$1 + k$	$1 + k + k^{2}$
$10%$	$1, 1$	$1, 21$	$1, 331$	$2, 1$	$3, 31$
$20%$	$1, 2$	$1, 44$	$1, 728$	$2, 2$	$3, 64$
$25%$	$1, 25$	$1, 5625$	$1, 953125$	$2, 25$	$3, 8125$

Как ведёт себя долг

Остаток долга при равных платежах убывает неравномерно: сначала медленно, потом всё быстрее. Причина простая - в первый год проценты самые большие, и на погашение самого долга от платежа остаётся меньше всего.

Остаток долга по годам убывает всё быстрее

Тот же факт с другой стороны: платёж каждый год одинаковый, но делится он по-разному. Часть платежа гасит начисленные проценты, а остальное идёт на тело долга - на саму занятую сумму. В первый год проценты забирают почти половину платежа, в последний - меньше пятой части.

Один и тот же платёж делится на проценты и тело долга по-разному

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения

1. Выпиши данные. Сумма кредита $S,$ ставка $r,$ срок $n,$ платёж $x .$ Одна из этих величин неизвестна - её и ищем.
2. Посчитай $k .$ $k = 1 + \frac{r}{100} .$ Не $\frac{r}{100},$ а именно на единицу больше.
3. Составь уравнение $S \cdot k^{n} = x (k^{n - 1} + \dots + 1) .$ Для двух лет это $S k^{2} = x (k + 1),$ для трёх - $S k^{3} = x (k^{2} + k + 1) .$
4. Найди неизвестную. Уравнение линейное и относительно $S,$ и относительно $x$ - хватает одного деления.
5. Ответь на вопрос задачи. Часто спрашивают не $x :$ общая сумма выплат равна $n x,$ переплата равна $n x - S,$ остаток после $m$ -го платежа считается по цепочке.
6. Проверь цепочкой. Пройди по годам: умножь на $k,$ вычти $x .$ После последнего платежа обязан получиться ноль.

Общая сумма выплат и переплата

ВАЖНОЕ

Выплаты и переплата

T = n \cdot x переплата = T - S

Все платежи одинаковы, поэтому общая сумма выплат $T$ - это платёж, умноженный на число платежей. Переплата - разница между тем, что отдано банку, и тем, что было взято.

Переплата - это разница между суммой выплат и суммой кредита

Примеры решения

Четыре примера закрывают все четыре вопроса, которые встречаются в этом номере.

ПРИМЕР 1

Общая сумма выплат

В июле планируется взять кредит $182000$ рублей на три года. Каждый январь долг увеличивается на $20%$ по сравнению с его величиной на конец предыдущего года, а с февраля по июнь вносится один платёж. Кредит гасится тремя равными платежами. Какова общая сумма выплат?

ПРИМЕР 2

Переплата за два года

Семья оформляет автокредит на $550000$ рублей сроком на два года. В начале каждого года невыплаченный долг увеличивается на $20%,$ а затем в течение года вносится один платёж. Оба платежа одинаковы и полностью гасят кредит. На сколько рублей общая сумма выплат превысит сумму кредита?

ПРИМЕР 3

Обратная задача: найти сумму кредита

Кредит взят на три года и погашается тремя равными платежами по $216000$ рублей. В начале каждого года остаток долга увеличивается на $20%,$ после чего вносится очередной платёж. Сколько рублей составляла первоначальная сумма кредита?

ПРИМЕР 4

Остаток долга после платежа

Предприниматель берёт в банке $273000$ рублей на три года. В начале каждого года долг вырастает на $20%$ по сравнению с его величиной на конец предыдущего года, в течение года вносится один платёж; все три платежа одинаковы и полностью гасят кредит. Каким будет остаток долга сразу после второго платежа?

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Коэффициент перепутан со ставкой

Ошибка: при ставке $20%$ записать $k = 0, 2$ и умножать долг на $0, 2 .$ Долг тогда не растёт, а уменьшается в пять раз, и ответ выходит меньше суммы кредита.
Правильно: коэффициент увеличения всегда больше единицы: $k = 1 + \frac{20}{100} = 1, 2 .$ Быстрая проверка здравым смыслом - сумма выплат по кредиту обязана быть больше взятой суммы.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Проценты от исходной суммы

Ошибка: посчитать проценты как $20%$ от $S$ за каждый год и сложить: «взял $273000,$ переплата $3 \cdot 54600$ ».
Правильно: процент начисляется на текущий остаток, а он убывает после каждого платежа. В примере 4 начисления по годам разные: $54600,$ затем $39600,$ затем $21600 .$ Одинаковыми они были бы только у кредита, который вообще не гасят.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ не на тот вопрос

Ошибка: найти платёж $86400$ и записать его в бланк, когда спрашивали общую сумму выплат.
Правильно: после вычислений перечитай последнюю строку условия. В этом номере одинаково часто спрашивают платёж, всю сумму $n x,$ переплату $n x - S,$ саму сумму кредита и остаток на промежуточный момент - числа разные, а решение до последнего шага одно и то же.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перепутан порядок действий внутри года

Ошибка: сначала вычесть платёж, потом начислить процент: $(S - x) k .$
Правильно: в условии всегда сказано, что долг сначала увеличивается (январь, февраль), а платёж вносится позже (с марта по декабрь). Порядок $S k - x$ менять нельзя: перестановка даёт другое уравнение и другой ответ.

Что запомнить

$k = 1 + \frac{r}{100}$ - множитель роста долга за период; он всегда больше единицы.
Один период кредита - это $S_{m} = S_{m - 1} k - x :$ сначала процент, потом платёж.
Уравнение полного погашения: $S k^{n} = x (k^{n - 1} + \dots + k + 1),$ а сумма в скобках равна $\frac{k ^{n} - 1}{k - 1} .$
Для двух лет $S k^{2} = x (k + 1),$ для трёх $S k^{3} = x (k^{2} + k + 1) .$ При $k = 1, 2$ это множители $1, 44,$ $2, 2$ и $1, 728,$ $3, 64 .$
Общая сумма выплат $T = n x,$ переплата равна $n x - S .$
Остаток долга убывает неравномерно: процент начисляется только на невыплаченную часть.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: по спецификации на задание отводится $10$ минут; кредит на два-три года решается за $4$ - $6 .$
Не умножай раньше времени. Держи $S \cdot k^{n}$ и $x \cdot \frac{k ^{n} - 1}{k - 1}$ в общем виде и сокращай в конце - числа в этих задачах подобраны так, что деление даёт круглый ответ.
Промежуточные значения не округляй. $1, 728$ или $3, 8125$ обязаны дожить до конца целиком: ответ в этом номере целый, и округление его ломает.
Проверка цепочкой обязательна. Пройти три года умножением и вычитанием - это полминуты, а ноль в конце гарантирует, что платёж найден верно.
Формат ответа: целое число рублей, без пробелов и без слова «рублей».

Проверь себя0 из 5

1.Банк начисляет

25%

годовых. Чему равен коэффициент увеличения долга

k ?

2.Кредит

S

взят на два года и гасится двумя равными платежами

x .

Какое уравнение верно?

3.Кредит на два года под

10%

годовых погашен двумя платежами по

121000

рублей. Какова была сумма кредита?

4.Кредит

400000

рублей погашен тремя равными платежами по

180000

рублей. Чему равна переплата?

5.Что происходит с начисляемыми процентами от года к году при равных платежах?