Кредиты с дифференцированными платежами (Задание 13)
Дифференцированная схема - вторая из двух кредитных моделей задания 13. Опознаётся она по одной фразе условия: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше». Одинаково убывает долг, а выплаты каждый период получаются разные - ровно наоборот по сравнению со схемой равных платежей. Считается такой кредит легче: геометрическая прогрессия здесь не нужна, всё держится на арифметической.
iЗАМЕЧАНИЕ
Слова-маркеры схемы
В условии ищи одну из формулировок:
- «долг уменьшается на одну и ту же величину»;
- «платежи подобраны так, чтобы долг убывал равномерно и через n лет обратился в нуль».
Любая из них - дифференцированная схема. Если же написано «погашен равными платежами» или «ежемесячный платёж одинаков» - это аннуитет, и техника там совсем другая.
Как убывает долг
Пусть взят кредит S рублей на n периодов (лет или месяцев), ставка за период - r%. Условие «долг убывает на одну и ту же величину» означает, что за каждый период тело долга гасится одинаковой долей.
ВАЖНОЕ
Тело долга и остаток
Каждый период погашается одна и та же часть долга:
d=nSОстаток долга после k-го платежа:
Dk=S−k⋅nS=nn−k⋅SОстатки S, D1, D2, …, Dn=0 образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью −nS.
Из чего состоит платёж
Порядок действий внутри периода всегда один: сначала на остаток долга начисляются проценты, и только потом вносится платёж.
Раз после платежа долг обязан уменьшиться ровно на nS, платёж должен покрыть проценты целиком и сверх того погасить эту долю тела.
ВАЖНОЕ
Платёж k-го периода
Xk=nS+100r⋅Dk−1,Dk−1=nn−k+1⋅SПервый платёж самый большой, последний - самый маленький:
X1=nS+100r⋅S,Xn=nS(1+100r)Сами платежи тоже образуют арифметическую прогрессию, но убывающую:
Xk+1−Xk=−100r⋅nS
✓СОВЕТ
Индекс остатка: главный источник ошибок
Перед k-м платежом ещё не сделано k выплат, а сделано k−1. Значит проценты берутся с остатка Dk−1, а не с Dk.
Словами: проценты начисляются на тот долг, с которым ты вошёл в период. Перед первым платежом это полный кредит S, перед последним - одна n-я часть.
Переплата за весь кредит
Складывать платежи по одному долго. Все тела долга дают в сумме ровно S, поэтому достаточно сложить проценты.
Проценты за периоды начисляются на остатки S, nn−1S, …, n1S, то есть на n, n−1, …, 1 долей по nS. Сумма такого ряда - классическая сумма Гаусса 2n(n+1).
ВАЖНОЕ
Переплата и общая сумма выплат
Π=100r⋅S⋅2n+1S+Π=S(1+100r⋅2n+1)Одна формула отвечает сразу на три вопроса задания: «общая сумма выплат» - это S+Π, «на сколько выплаты превысят кредит» - это Π, «сколько процентов составила переплата» - это SΠ⋅100%.
Алгоритм решения
АЛГОРИТМ
Как решать задачу на дифференцированный кредит
1. Убедись, что схема дифференцированная. Найди фразу про равномерное уменьшение долга. Нет её - формулы этого конспекта не работают.
2. Выпиши три числа: сумму кредита S, срок n и ставку r. Считать удобнее в тысячах рублей.
3. Найди тело периода d=nS - самую частую опорную величину: она входит в каждый платёж.
4. Определи, что спрашивают. Общая сумма или переплата - иди через формулу Π. Конкретный платёж - через Xk. Неизвестен сам кредит - составь уравнение относительно S.
5. Держи S буквой до последнего шага. В уравнении S(1+100r⋅2n+1)=A числа сокращаются сами.
6. Проверь ответ на разумность. Сумма выплат больше S, но не в разы. Первый платёж - самый большой, последний - самый маленький.
Примеры решения
ПРИМЕР 1
Общая сумма всех платежей
Условие:
Максим берёт в банке 1200000 рублей на четыре года. В начале каждого года невыплаченный остаток долга увеличивается на 10%, после чего в течение года вносится платёж. Платежи подобраны так, чтобы после каждого из них остаток долга уменьшался на одну и ту же величину и через четыре года стал равен нулю. Сколько рублей составит общая сумма всех платежей?
ПРИМЕР 2
Наибольший платёж
Условие:
Магазин взял кредит 900000 рублей на три года. Каждый год долг сначала увеличивается на 20%, а затем гасится очередным платежом. Платежи подобраны так, что остаток долга уменьшается ежегодно на одну и ту же сумму и через три года обращается в нуль. Найдите размер наибольшего из платежей.
ПРИМЕР 3
Платёж с конкретным номером
Условие:
Кредит 1800000 рублей взят на шесть лет. В начале каждого года остаток долга увеличивается на 14%, затем вносится платёж; долг уменьшается ежегодно на одну и ту же величину и через шесть лет становится нулевым. Сколько рублей составит четвёртый платёж?
ПРИМЕР 4
Обратная задача: найти сумму кредита
Условие:
Кредит взят на четыре года. В начале каждого года остаток долга увеличивается на 15%, затем вносится платёж, причём долг уменьшается на одну и ту же величину и через четыре года обращается в нуль. Общая сумма всех выплат составила 1100000 рублей. Сколько рублей было взято в кредит?
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Проценты посчитаны от исходной суммы
Ошибка: Взять переплату как 100r⋅S⋅n - будто банк все n периодов начисляет процент на полный кредит.
Правильно: Начисление идёт на текущий остаток, а он убывает. Поэтому в формуле стоит 2n+1, а не n: в примере 1 переплата равна 300000, а не 480000.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
К дифференцированной схеме применена формула аннуитета
Ошибка: Увидеть слово «кредит» и сразу писать S⋅kn=X⋅k−1kn−1.
Правильно: Геометрическая прогрессия появляется только при равных платежах. Здесь платежи разные, зато равномерно убывает долг - работает арифметическая прогрессия. Решают не слова «кредит» и «проценты», а фраза про равномерное уменьшение долга.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Сдвиг на один период в номере остатка
Ошибка: Считая четвёртый платёж, взять проценты с остатка D4 - то есть с того, что осталось уже ПОСЛЕ четвёртой выплаты.
Правильно: Перед k-м платежом выплат сделано k−1. В примере 3 остаток равен 900000, а не 600000; ошибка в номере даёт правдоподобные 384000 вместо 426000, и поймать её можно только проверкой.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Отвечено не на тот вопрос
Ошибка: Посчитать S+Π, когда спрашивают «на сколько общая сумма выплат превысит сумму кредита».
Правильно: «Превысит» - это разность, то есть чистая переплата Π. Платёж, переплата и общая сумма выплат - три разных числа; перечитай вопрос до того, как запишешь ответ в бланк.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Последний платёж принят равным телу долга
Ошибка: Считать, что в последний период платить нечего кроме nS.
Правильно: Проценты начисляются и в последнем периоде - на остаток nS. Поэтому Xn=nS(1+100r), а не nS. В примере 2 последний платёж равен 360000, а тело - 300000.
Что запомнить
- Маркер схемы - фраза «долг уменьшается на одну и ту же величину». Она решает всё: остальные слова условия на выбор модели не влияют.
- Тело периода d=nS одинаково всегда; остатки и платежи - две убывающие арифметические прогрессии.
- Платёж: Xk=nS+100r⋅Dk−1, где Dk−1=nn−k+1⋅S. Наибольший - первый, наименьший - последний.
- Переплата: Π=100r⋅S⋅2n+1, общая сумма выплат: S+Π.
- Обратные задачи («найдите сумму кредита», «найдите ставку») решаются подстановкой известного в ту же формулу: получается одно линейное уравнение.
✓СОВЕТ
Стратегия на экзамене
- Тайминг: 5-7 минут: формула короткая, длинных вычислений нет.
- Единицы: переведи всё в тысячи рублей в первой же строке. Кредит 1800000 становится 1800, и три нуля перестают теряться.
- Считай долями nS. Остаток перед k-м годом - это (n−k+1) таких долей: в примере 3 перед четвёртым годом остаётся 3 доли по 300000.
- Контроль порядка величины: переплата равна 100r⋅2n+1 от кредита. При 10% и четырёх годах это 25%: вышло вдвое больше - ищи ошибку в остатках.
- Ответ в бланк: без пробелов и слова «рублей»: 1500000.
Проверь себя0 из 4
1.Какая фраза в условии означает дифференцированную схему?
2.Кредит 2400000 рублей на шесть лет под 8%. На сколько рублей общая сумма выплат превысит сумму кредита?
3.Кредит 600000 рублей на пять лет под 10%. Чему равен последний платёж?
4.Какую прогрессию образуют платежи в дифференцированной схеме?