Корни — ЕГЭ профиль

Графики функций с корнем (Задание 12)

Задание 12 проверяет умение работать с графиками. Задачи на функцию квадратного корня встречаются нечасто, но считаются одними из самых простых: чаще всего надо найти абсциссу точки пересечения графика корня и прямой. Реже встречается сдвинутый корень или кубический корень.

Основные формулы и свойства

Достаточно знать, как выглядят базовые графики и за что отвечают коэффициенты.

ВАЖНОЕ

Функция квадратного корня

f (x) = a x

Область определения: $x ⩾ 0 .$
График всегда выходит из начала координат - точки $(0; 0) .$
Если $a > 0,$ ветвь идёт вправо и вверх (стандартный случай для ЕГЭ).
Если $a < 0,$ ветвь идёт вправо и вниз.

По одной отмеченной точке $(x_{0}; y_{0})$ коэффициент находится за один шаг: $a = \frac{y _{0}}{x _{0}} .$

Кроме квадратного, на ЕГЭ встречается кубический корень.

ВАЖНОЕ

Функция кубического корня

f (x) = a 3 x

Область определения: $x \in R$ - любой вещественный $x .$
График проходит через начало координат и симметричен относительно $(0; 0) :$ на положительных $x$ он идёт в первой четверти, на отрицательных - в третьей.
По точке $(x_{0}; y_{0}) :$ $a = \frac{y _{0}}{3 x _{0}} .$

В более сложных прототипах встречается сдвинутый корень: его ветвь выходит не из начала координат, а из точки $(b; c) .$

ВАЖНОЕ

Сдвинутый квадратный корень

f (x) = a x - b + c

Область определения: $x ⩾ b .$
Начало ветви («носик» графика) - в точке $(b; c) .$
Коэффициент $a$ отвечает за крутизну и направление ветви. По любому другому узлу $(x_{0}; y_{0})$ находится как $a = \frac{y _{0} - c}{x _{0} - b} .$

Параметры b и c двигают начало графика (b; c), а a растягивает его и отражает относительно горизонтали

Второй частый участник задач - прямая $g (x) = k x$ или $k x + m .$ Коэффициенты восстанавливаются по двум отмеченным узлам сетки.

Алгоритм решения

Почти все задачи на графики корня в ЕГЭ сводятся к одной из двух схем: найти значение функции в конкретной точке или найти точку пересечения корня с прямой.

АЛГОРИТМ

Алгоритм поиска точки пересечения

1. Найди коэффициент $a .$ Выбери на графике корня узел решётки (жирная точка в перекрестии клеток). Подставь координаты в уравнение $y = a x$ и вычисли $a .$
2. Найди коэффициент $k .$ Выбери узел на прямой. Подставь в $y = k x$ и вычисли $k .$
3. Приравняй функции. В точке пересечения значения функций равны: $a x = k x .$
4. Реши уравнение. Искомая точка $B$ не совпадает с началом координат, поэтому $x > 0 .$ Раздели обе части на $x$ и возведи в квадрат.
5. Если прямая не через ноль ( $g (x) = k x + m$ ). Сделай замену $x = t$ при $t ⩾ 0 .$ Уравнение станет квадратным относительно $t .$ Из двух корней выбери тот, что даёт абсциссу искомой точки $B .$

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Поиск значения функции

Условие:
На рисунке изображён график функции $f (x) = a x .$ Найди значение $f (16) .$

ПРИМЕР 2

Пересечение корня и прямой из начала координат

Условие:
На рисунке изображены графики функций видов $f (x) = a x$ и $g (x) = k x,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B .$ Найди абсциссу точки $B .$

ПРИМЕР 3

Пересечение корня и произвольной прямой

Условие:
На рисунке изображены графики функций $f (x) = a x$ и $g (x) = k x + b,$ которые пересекаются в точках $A (4; 6)$ и $B .$ Найди абсциссу точки $B .$

ПРИМЕР 4

Сдвинутый корень

Условие:
На рисунке изображён график функции $f (x) = a x - b + c .$ Найди значение $f (27) .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в координатах точек

Ошибка: Взять для поиска коэффициента точку $(x; y)$ и подставить её наоборот: $x = a y .$
Правильно: Всегда чётко фиксируй: абсцисса (ось по горизонтали) - это $x,$ она стоит под корнем. Ордината (ось по вертикали) - это $y,$ она стоит слева от знака равенства.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Потеря корня при сокращении на

x

Ошибка: В уравнении $2 x = \frac{1}{3} x$ возвести обе части в квадрат: $4 x = \frac{1}{9} x^{2},$ сократить на $x$ и потерять корень $x = 0 .$
Правильно: Делить на $x$ или $x$ можно, только если гарантированно $x \neq = 0 .$ В задачах на пересечение корня и прямой $g (x) = k x$ точка $A$ - это ноль, а нас спрашивают про точку $B,$ где $x > 0 .$ Поэтому сокращать безопасно. В общем виде лучше перенести всё в одну сторону и вынести общий множитель за скобки - так ни один корень не потеряется.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ не получается целым

Ошибка: После подстановки в $f (x) = a x - b + c$ или $a 3 x$ под корнем остаётся число, не являющееся полным квадратом (для $x$ ) или точным кубом (для $3 x$ ). В ответе получается что-то вроде $27 + 1 .$
Правильно: В задании 12 ответ всегда целый или конечная десятичная дробь. Если под корнем неудобное число - перепроверь $a,$ $b,$ $c$ по узлам решётки. Чаще всего причина - взята точка «на глаз», а не с перекрестья линий сетки.

Что запомнить

Базовый $a x$ задаётся одной точкой; сдвинутый $a x - b + c$ - «носиком» $(b; c)$ плюс второй точкой.
Кубический $3 x$ определён на всей прямой, проходит через $(0; 0),$ симметричен относительно начала координат.
Прямая $g (x) = k x$ всегда даёт пересечение $A = (0; 0);$ вопрос в задаче - про точку $B,$ где $x > 0 .$
$a x = k x$ при $x > 0$ сводится к линейному относительно $x .$ Для $k x + m$ - замена $x = t$ даёт квадратное уравнение.
Ответ - всегда целое или простая дробь. Если под корнем неудобное число, ищи ошибку в считывании точек.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: 3-5 минут. Одно из самых быстрых заданий первой части.
Приоритет: Решай сразу. Если попались корни - тебе повезло.
Опорные точки: Бери только жирно выделенные узлы решётки. Точка «на глаз» даст неправильный $a$ и весь ответ.
Проверка: Нашёл абсциссу точки $B$ - подставь её в обе функции: $f (x_{B})$ и $g (x_{B}) .$ Значения обязаны совпасть. Например, в примере 2 при $x = 36 :$ $f (36) = 236 = 12$ и $g (36) = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12$ - сошлось.
Самопроверка формулы: Нашёл $a,$ $b,$ $c$ - подставь третью выделенную точку с графика. Если совпало - формула верна.

Проверь себя0 из 4

1.Какова область определения функции

f (x) = a x - 3 + 1 ?

2.График

f (x) = a x

проходит через точку

(9; 6) .

Чему равно

a ?

3.Графики

f (x) = 2 x

g (x) = \frac{1}{2} x

пересекаются в точках

A (0; 0)

B .

Какова абсцисса точки

B ?

4.Из какой точки выходит ветвь графика

f (x) = a x - b + c ?