Конус — ЕГЭ профиль

Конус в простейшей стереометрии (Задание 3)

Задание 3 проверяет базовые знания стереометрии. Тема «Конус» встречается здесь не так часто, как прямоугольный параллелепипед, но требует чёткого знания формул и умения связывать элементы фигуры через прямоугольный треугольник. Часто конус комбинируют с другими телами: цилиндром или шаром.

Обычно для решения достаточно знать связь между элементами конуса и пару формул площадей и объёмов. Коэффициент $\frac{1}{3}$ в объёме и связь образующей с высотой и радиусом по теореме Пифагора - главный набор, который нужен в этом задании.

Суть темы и базовые понятия

Прямой круговой конус получается, если взять прямоугольный треугольник и начать вращать его вокруг одного из катетов. Тот катет, вокруг которого идёт вращение, становится высотой конуса, второй катет - радиусом основания, а гипотенуза - образующей.

У конуса три главных линейных элемента:

$R$ - радиус основания (радиус круга в основании);
$h$ - высота (перпендикуляр из вершины в центр основания);
$l$ - образующая (отрезок от вершины до любой точки окружности основания).

Ключевой факт: высота, радиус основания и образующая всегда образуют прямоугольный треугольник, причём образующая в нём - гипотенуза. Поэтому они связаны теоремой Пифагора.

ВАЖНОЕ

Связь элементов конуса

l^{2} = h^{2} + R^{2}

Отсюда получаются три рабочие формы: $l = h^{2} + R^{2},$ $h = l^{2} - R^{2},$ $R = l^{2} - h^{2} .$

Двигай ползунки h и R: образующая l пересчитывается по теореме Пифагора и показана рядом с треугольником

Основные формулы

Эти три формулы покрывают подавляющее большинство задач по теме. Запомни их наизусть и следи за тем, где стоит $R,$ а где $l .$

ВАЖНОЕ

Объём конуса

V = \frac{1}{3} π R^{2} h

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту. Коэффициент $\frac{1}{3}$ обязателен - он отличает конус от цилиндра.

ВАЖНОЕ

Площадь боковой поверхности

S_{бок} = π R l

Обрати внимание: в этой формуле стоит образующая $l,$ а не высота $h .$ Если в условии дана только высота, образующую сначала нужно найти по теореме Пифагора.

ВАЖНОЕ

Площадь полной поверхности

S_{полн} = π R l + π R^{2} = π R (l + R)

Это сумма площади боковой поверхности и площади круглого основания $π R^{2} .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Развёртка боковой поверхности

Если развернуть боковую поверхность конуса на плоскость, получится круговой сектор. Его радиус равен образующей $l,$ а длина дуги равна длине окружности основания конуса $2 π R .$ Именно отсюда и получается формула $S_{бок} = π R l$ - это площадь такого сектора.

Связь с цилиндром

Если цилиндр и конус имеют общее основание и равны по высоте, то объём цилиндра ровно в $3$ раза больше объёма конуса:

V_{цил} = π R^{2} h, V_{кон} = \frac{1}{3} π R^{2} h ⟹ V_{цил} = 3 V_{кон}

Этим фактом удобно пользоваться в задачах вида «цилиндр и конус имеют общие основание и высоту, объём цилиндра равен $30,$ найди объём конуса» - не нужно ничего вычислять, просто раздели на $3 .$

Площади боковых поверхностей таких фигур связаны похоже, но через образующую. Для цилиндра $S_{бок . цил} = 2 π R h,$ а для конуса $S_{бок . кон} = π R l = π R R^{2} + h^{2} .$ Эту связь разбираем в примере 2.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Решение задачи на конус

1. Сделай чертёж или используй готовый. Подпиши все известные величины ( $R,$ $h,$ $l$ ) и то, что нужно найти.
2. Определи, каких элементов не хватает. Если для искомой формулы нужна образующая, а дана высота (или наоборот) - найди недостающее через теорему Пифагора $l^{2} = h^{2} + R^{2} .$
3. Запиши формулу и подставь. В задачах на изменение размеров удобно записать формулу дважды (для старого и нового конуса) и разделить одно на другое - лишние коэффициенты сократятся.
4. Проверь ответ. В первой части ЕГЭ ответ - целое число или конечная десятичная дробь. Число $π$ обязательно сокращается в процессе вычислений.

Примеры решения

Три задачи от простой на одну формулу до комбинации тел с применением теоремы Пифагора.

ПРИМЕР 1

Изменение размеров

Условие:
Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в $4$ раза, а высоту уменьшить в $2$ раза?

Решение:

1. Запиши формулу исходного объёма:

V_{1} = \frac{1}{3} π R^{2} h

2. У нового конуса радиус равен $4 R,$ а высота равна $\frac{h}{2} .$ Обязательно бери новое значение радиуса в скобки целиком - возводится в квадрат весь множитель:

V_{2} = \frac{1}{3} π (4 R)^{2} \cdot \frac{h}{2}

3. Раскрой скобки и вынеси исходный объём за скобку:

V_{2} = \frac{1}{3} π \cdot 16 R^{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{16}{2} \cdot (\frac{1}{3} π R^{2} h) = 8 \cdot V_{1}

4. Новый объём больше старого в $8$ раз.

Ответ: 8

ПРИМЕР 2

Цилиндр и конус с общим основанием

Условие:
Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу его основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $52 .$ Найди площадь боковой поверхности цилиндра.

ПРИМЕР 3

Конус и описанная сфера

Условие:
Около конуса описана сфера (сфера проходит через окружность основания конуса и через его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $72 .$ Найди образующую конуса.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытая треть в объёме

Ошибка: Использовать для объёма конуса формулу $V = π R^{2} h$ (как у цилиндра).

Правильно: Конус сужается к вершине, поэтому его объём всегда в $3$ раза меньше объёма цилиндра с тем же основанием и той же высотой:

V = \frac{1}{3} π R^{2} h

Проверка здравым смыслом: если при одинаковых основаниях и высотах у тебя получилось, что объём конуса больше (или равен) объёму цилиндра - где-то ошибка.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между высотой и образующей

Ошибка: При вычислении площади боковой поверхности подставлять в формулу $S_{бок} = π R l$ вместо $l$ значение высоты $h .$

Правильно: Высота $h$ находится внутри конуса (это перпендикуляр), а образующая $l$ - на его поверхности (это наклонный отрезок). Они связаны как катет и гипотенуза прямоугольного треугольника. Всегда $l > h$ и $l > R .$ Если $l$ не дана - найди её по теореме Пифагора $l = R^{2} + h^{2} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Квадрат при изменении радиуса

Ошибка: Если радиус увеличить в $k$ раз, считать, что объём тоже вырастет в $k$ раз.

Правильно: В формулу $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ радиус входит в квадрате. Поэтому увеличение радиуса в $k$ раз увеличивает объём в $k^{2}$ раз (при неизменной высоте). Пример: $R$ увеличили в $11$ раз, высота не менялась - объём вырос в $1 1^{2} = 121$ раз.

Что запомнить

$R,$ $h,$ $l$ - это прямоугольный треугольник. Знаешь два элемента - находи третий по теореме Пифагора.
Коэффициент $\frac{1}{3}$ в объёме конуса обязателен. Цилиндр и конус с общими основанием и высотой: $V_{цил} = 3 V_{кон} .$
В боковой поверхности $S_{бок} = π R l$ стоит образующая, в объёме $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ - высота. Не путай.
В площади основания входит $R^{2},$ а в объём $R^{2} h$ - при изменении $R$ в $k$ раз площадь основания умножается на $k^{2},$ объём (если $h$ не меняется) - тоже на $k^{2} .$
«Осевое сечение конуса» - это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и основанием $2 R .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия для задания 3

Ориентировочное время: 3-5 минут.
Приоритет: Решай это задание в самом начале. Оно требует лишь знания базовых формул и аккуратного счёта.
Блоки вместо радиуса: Часто не нужно находить сам $R .$ Выражай целиком блок $π R^{2}$ или $π R l$ и подставляй в формулу искомой величины - это экономит шаг и снижает риск ошибок с корнями.
Проверка размерности: Если в задаче радиус увеличили в $4$ раза при прежней высоте - объём ( $R^{2}$ ) должен вырасти в $16$ раз, площадь основания тоже в $16,$ а длина окружности ( $R$ ) - только в $4 .$ Сверяй ответ с этой логикой.
Избавление от $π :$ В первой части ЕГЭ $π$ обязательно сокращается в ходе вычислений. Если ответ получился с $π$ - перечитай вопрос (может, просят $\frac{V}{π}$ ), либо ищи ошибку.

Проверь себя0 из 4

1.Как связаны образующая

l,

высота

h

и радиус основания

R

конуса?

2.Чему равен объём конуса с радиусом основания

R

и высотой

h ?

3.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен

30 .

Чему равен объём конуса?

4.Радиус основания конуса увеличили в

4

раза, а высоту уменьшили в

2

раза. Во сколько раз увеличился объём?