Комбинированные задачи — ЕГЭ профиль

Комбинированные графики функций (Задание 12)

В задании 12 первой части ЕГЭ часто встречаются задачи, где на одной координатной плоскости изображены сразу два графика разных типов: прямая и гипербола, прямая и парабола, реже - две параболы или парабола и корень. Такие задачи комбинируют сразу несколько навыков: узнать вид каждой функции, восстановить её коэффициенты по выделенным точкам и сделать финальное алгебраическое действие.

Чаще всего спрашивают одну из трёх вещей:

абсциссу или ординату «скрытой» точки пересечения графиков $B$ (вторую точку $A$ видно на рисунке, а $B$ уходит за сетку);
значение одной функции в заданной точке, когда коэффициенты нужно сначала достать с графика;
значение выражения с обеими функциями, например композицию $f (g (x_{0})) .$

Основные формулы и виды функций

Для успешного решения нужно уверенно узнавать графики базовых функций и помнить их общий вид.

ВАЖНОЕ

Уравнения базовых функций

Линейная функция (прямая): $y = k x + b$
Квадратичная функция (парабола): $y = a x^{2} + b x + c$ или $y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$
Обратная пропорциональность (гипербола): $y = \frac{k}{x}$
Функция корня: $y = a x$

Ключевая идея любой задачи на пересечение графиков заключается в одном простом правиле:

ВАЖНОЕ

Условие пересечения графиков

В точке пересечения значения функций равны. Чтобы найти координаты точек пересечения графиков $y = f (x)$ и $y = g (x),$ нужно решить уравнение:

f (x) = g (x)

Корни этого уравнения $x_{1}, x_{2}$ - это абсциссы точек пересечения.

Подвигай прямую и посмотри, как меняется число точек пересечения с параболой

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как найти скрытую точку пересечения

1. Определи тип первой функции и выбери на её графике удобные узловые точки (где график проходит точно через узлы клетчатой сетки).
2. Найди коэффициенты первой функции, подставив координаты точек в общее уравнение.
3. Определи тип второй функции, выбери узловые точки и найди её коэффициенты.
4. Приравняй полученные выражения $f (x) = g (x)$ и реши уравнение.
5. Выбери нужный корень. Уравнение даёт два корня. Один совпадёт с $x$ -координатой видимой точки $A$ - это самопроверка. Второй корень - это абсцисса искомой точки $B .$
6. Внимательно прочитай вопрос. Если просят найти абсциссу точки $B,$ пиши найденный $x .$ Если просят ординату, подставь найденный $x$ в любую из двух функций и вычисли $y .$

Примеры решения

Разберём комбинации, которые чаще всего встречаются в тренировочных вариантах.

ПРИМЕР 1

Гипербола и прямая

На рисунке изображены графики функций $f (x) = \frac{k}{x}$ и $g (x) = a x + b,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B .$ Найдите абсциссу точки $B .$

ПРИМЕР 2

Парабола и прямая

На рисунке изображены графики функций $f (x) = a x^{2} + b x + c$ и $g (x) = k x + d,$ которые пересекаются в точках $A$ и $B .$ Найдите ординату точки $B .$

ПРИМЕР 3

Композиция функций по двум графикам

На рисунке в одной системе координат изображены графики функций $f (x) = a x^{2} + b x + c$ и $g (x) = k x + d .$ Найдите значение $f (g (- 1)) .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между абсциссой и ординатой

Ошибка: Найти координату $x$ точки $B$ и сразу записать её в ответ, когда в условии просили найти ординату.
Правильно: Подчеркни слово «абсцисса» ( $x$ ) или «ордината» ( $y$ ) прямо в тексте условия при чтении. Если нужна ордината - не забудь сделать последний шаг и подставить найденный $x$ в формулу функции.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Неправильное определение коэффициентов по графику

Ошибка: Считать угловой коэффициент прямой $a = \frac{Δ x}{Δ y}$ (по горизонтали делить на вертикаль) или забыть про знак минус у убывающей прямой.
Правильно: Угловой коэффициент - это всегда изменение по оси $Y$ делить на изменение по оси $X .$ Если прямая идёт вниз (слева направо), коэффициент гарантированно отрицательный.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 12

Ориентировочное время: 5-10 минут.
Мощный метод самопроверки: как только уравнения $f (x)$ и $g (x)$ восстановлены, подставь в них координаты видимой точки пересечения $A .$ Если в обеих формулах получается правильное значение $y,$ значит уравнения составлены верно. Это страхует от обидных вычислительных ошибок на первых шагах.
Проверка финального ответа: если абсцисса невидимой точки $B$ получилась равной, скажем, $1, 5$ (как в Примере 1), мысленно продли графики на чертеже в сторону $x = 1, 5 .$ Похоже ли, что они там пересекутся? Если по вычислениям $B$ находится слева, а на графике видно, что прямая уходит вверх от гиперболы и они расходятся - ищи ошибку в знаках при решении квадратного уравнения.

Проверь себя0 из 4

1.Графики

y = f (x)

y = g (x)

пересекаются в точке с абсциссой

x_{0} .

Какое равенство обязательно выполняется?

2.Прямая

y = k x + b

проходит через узлы

(0; 1)

(2; 5) .

Чему равен угловой коэффициент

k ?

3.Гипербола

y = \frac{k}{x}

проходит через точку

(- 2; - 3) .

Чему равно

k ?

4.Дано:

g (x) = 2 x + 1,

f (x) = x^{2} - 4 x + 3 .

Чему равно

f (g (- 1)) ?