Комбинации тел

Комбинации тел (Стереометрия)

Задание 3 в ЕГЭ проверяет знание базовой стереометрии. В подтеме «Комбинации тел» тебе предстоит работать с фигурами, которые вложены друг в друга: вписаны или описаны. Здесь редко нужны сложные вычисления. Главный секрет успеха - найти связь между измерениями двух фигур (радиусами, высотами, рёбрами), а её почти всегда удобнее всего увидеть на осевом сечении.

Основные формулы и связи параметров

Чтобы не выводить зависимости каждый раз с нуля, полезно понимать и помнить, как связаны параметры фигур в стандартных комбинациях. В каждом случае ключевой инструмент - осевое сечение, на плоском чертеже сразу видно, какие отрезки равны.

ВАЖНОЕ

Конус и цилиндр с общим основанием

Если конус вписан в цилиндр (или они просто имеют общее основание и высоту), то их радиусы $R$ и высоты $H$ равны.
Объём цилиндра в $3$ раза больше объёма конуса:

$$V_{\text{цил}}=3\cdot V_{\text{кон}}$$

ВАЖНОЕ

Шар, вписанный в цилиндр

Если шар касается обоих оснований цилиндра и его боковой поверхности (вписан в цилиндр), то радиус шара равен радиусу основания цилиндра $R\text{,}$ а высота цилиндра равна диаметру шара:

$$H=2R$$

Объём и площадь полной поверхности такого цилиндра ровно в $1,5$ раза больше объёма и площади поверхности шара.

ВАЖНОЕ

Шар, описанный около цилиндра

Если цилиндр вписан в шар (оба основания цилиндра - это окружности на сфере), то радиус шара $R_{\text{ш}}\text{,}$ радиус основания цилиндра $r$ и его высота $h$ связаны теоремой Пифагора:

$$R_{\text{ш}}^2=r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2$$

ВАЖНОЕ

Цилиндр, вписанный в прямоугольный параллелепипед

Чтобы в прямоугольный параллелепипед (или прямую призму) можно было вписать цилиндр, в основании параллелепипеда должен лежать квадрат.
Сторона этого квадрата $a$ равна диаметру цилиндра:

$$a=2R$$

Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра: $H_{\text{пар}}=H_{\text{цил}}\text{.}$

Алгоритм решения

В задачах первой части на комбинации тел почти всегда работает один и тот же подход.

Примеры решения задач

Разберём три задачи от самой простой до той, где нужна теорема Пифагора в осевом сечении.

ПРИМЕР 1

Конус и цилиндр

Условие:
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен $42\text{.}$ Найди объём конуса.

Частые ошибки

Что запомнить

• Шар вписан в цилиндр $\Rightarrow H=2R\text{,}$ площади и объёмы двух фигур относятся как $2:3$ (шар меньше).
• Конус и цилиндр с общим основанием и высотой $\Rightarrow V_{\text{цил}}=3V_{\text{кон}}\text{.}$
• Цилиндр вписан в параллелепипед $\Rightarrow$ в основании квадрат, $a=2R\text{.}$
• Цилиндр вписан в шар $\Rightarrow R_{\text{ш}}^2=R^2+(H/2{)}^2$ по теореме Пифагора в осевом сечении.
• В задачах на комбинации тел почти всегда удобнее работать с блоком ($\pi R^2\text{,}$ $\pi R^3$), а не с самим радиусом.

Стратегия на экзамене