Комбинации фигур — ЕГЭ профиль

Комбинации фигур (стереометрия)

Задание 15 проверяет твоё умение работать с пространственными фигурами. Тема «Комбинации фигур» встречается редко, но метко. В таких задачах цилиндры, конусы или шары комбинируются с вписанными многогранниками (призмами, пирамидами).

Сложность здесь кроется не в формулах круглых тел - они базовые. Главная трудность состоит в том, чтобы связать элементы круглого тела (радиус, образующую, ось) с элементами вписанного многогранника (сторонами, хордами, диагоналями).

Основные формулы и теоремы

Для успешного решения тебе понадобятся базовые знания о круглых телах и пара мощных теорем из планиметрии и стереометрии.

ВАЖНОЕ

Объём и поверхность цилиндра и конуса

Для прямого кругового цилиндра:

V = π R^{2} h, S_{бок} = 2 π R h

Для прямого кругового конуса:

V = \frac{1}{3} π R^{2} h, S_{бок} = π R l

где $R$ - радиус основания, $h$ - высота, $l$ - образующая.

В комбинированных задачах почти всегда фигурируют точки, лежащие на окружности основания. Здесь критически важно помнить одно правило из планиметрии:

ВАЖНОЕ

Угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $9 0^{\circ} .$ И наоборот: если вписанный в окружность угол прямой, то хорда, на которую он опирается - это диаметр.

Для доказательства перпендикулярности прямых в пространстве (пункт «а») чаще всего используется ТТП:

ВАЖНОЕ

Теорема о трёх перпендикулярах (ТТП)

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на комбинацию фигур

1. Построй грамотный чертёж. Нарисуй круглое тело (цилиндр или конус). Обозначь ось симметрии. Отметь точки на окружностях оснований.
2. Спроецируй точки. Если точки лежат на разных основаниях цилиндра, опусти перпендикуляры из точек верхнего основания на нижнее. Проекция образующей - это точка. Проекция наклонной диагонали - это хорда нижнего основания.
3. Ищи диаметры. Если в условии сказано, что отрезок «пересекает ось цилиндра/конуса», значит, его проекция на основание проходит через центр окружности. Следовательно, эта проекция - диаметр.
4. Примени ТТП. Для доказательства прямых углов в пункте «а» используй связь между хордой, диаметром и образующей.
5. Вычисли элементы. В пункте «б» используй теорему Пифагора, теорему косинусов и базовые формулы объёмов.

Примеры решения

Разберём две типовые конфигурации: вписанный в цилиндр треугольник и пирамиду внутри конуса.

ПРИМЕР 1

Цилиндр и пересечение оси

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности нижнего основания цилиндра выбраны точки $M$ и $N,$ а на окружности верхнего основания - точки $N_{1}$ и $K_{1} .$ Известно, что $N N_{1}$ - образующая цилиндра, а отрезок $M K_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $M N K_{1}$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $M N = 12,$ $N N_{1} = 16,$ $N_{1} K_{1} = 5 .$

ПРИМЕР 2

Конус и теорема косинусов

Различные точки $X,$ $Y$ и $Z$ лежат на окружности основания конуса с вершиной $P .$ Отрезок $X Y$ является диаметром основания. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $4 5^{\circ} .$
а) Докажите, что $cos ∠ X P Z + cos ∠ Y P Z = 1 .$
б) Найдите объём тетраэдра $P X Y Z,$ если $P Z = 22,$ а $cos ∠ X P Z = \frac{1}{4} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ошибочный перенос свойств плоских фигур в пространство

Ошибка: Утверждать, что если на чертеже в проекции угол выглядит прямым, то он прямой и в пространстве.
Правильно: Проекции искажают углы. В стереометрии прямой угол нужно строго доказывать либо через теорему Пифагора (обратную), либо через Теорему о трёх перпендикулярах, либо через скалярное произведение векторов.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница в углах конуса

Ошибка: В условии сказано «угол между образующей и основанием», а ученик отмечает угол при вершине конуса.
Правильно: Угол между образующей и плоскостью основания - это угол между самой образующей и радиусом, проведённым в точку её касания с окружностью. Это угол при основании осевого сечения.

Что запомнить

Отрезок, проходящий через центр цилиндра/конуса, опирается на диаметр основания.
Треугольник, вписанный в окружность, одна из сторон которого является диаметром - всегда прямоугольный.
Образующая прямого цилиндра перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 15

Время выполнения: 20-30 минут.
Очерёдность: Решай это задание после уверенного выполнения 14 и 16 номеров. Стереометрия требует аккуратного чертежа и времени на пространственное воображение.
Хитрость оценивания: Пункты «а» и «б» оцениваются независимо! Если не получается доказать перпендикулярность в пункте «а», просто прими это как факт и используй для вычислений в пункте «б». За абсолютно верный пункт «б» (с опорой на недоказанный пункт «а») ты получишь 1 балл.
Когда стоит пропустить: Если ты не можешь правильно нарисовать чертёж или найти связь между плоским основанием и высотой фигуры - отложи задачу. Лучше потратить время на параметры (задание 19) или планиметрию (задание 18).

За что дают баллы

В задании 15 можно получить от 0 до 3 баллов:

3 балла (Максимум): Идеально доказан пункт «а» и абсолютно верно посчитан пункт «б». Все переходы обоснованы.
2 балла: Обоснованно получен верный ответ в пункте «б» (при этом пункт «а» может быть не решён). ИЛИ верно доказан пункт «а», но в пункте «б» допущена одна вычислительная ошибка.
1 балл: Верно и полно доказан только пункт «а». ИЛИ пункт «а» не доказан, но пункт «б» решён верно с использованием утверждения из пункта «а».
0 баллов: Решение не содержит математически верных продвижений, нет чётких доказательств, либо ответ получен из ложных предположений. Голый ответ без решения всегда 0 баллов.

Проверь себя0 из 4

1.Вписанный угол опирается на диаметр окружности. Чему он равен?

2.Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен

4 5^{\circ},

радиус основания равен

R .

Чему равна образующая?

3.Радиус основания цилиндра равен

6, 5,

высота равна

16 .

Чему равна площадь боковой поверхности?

4.Отрезок с концами на окружностях оснований цилиндра пересекает его ось. Что можно утверждать о проекции этого отрезка на нижнее основание?