Колебания и резонанс — ЕГЭ профиль

Колебания и резонанс (Задание 17)

Семнадцатый номер - первая задача второй части, и оформлять его надо целиком, с обоснованием. Сюжет темы всегда один. Есть колебательная система - груз на пружине, станина станка, кузов вагона, электрический контур, - и есть внешнее воздействие с частотой $ω,$ которую можно менять. В условии дана готовая формула отклика: амплитуда колебаний или сила тока как функция $ω .$ Спрашивают, при какой частоте отклик наибольший.

Формула выглядит устрашающе: дробь, в её знаменателе корень, под корнем квадрат разности и ещё слагаемое. На деле вся конструкция сводится к параболе за три строчки, и производная чаще всего не нужна вовсе.

Как устроена формула отклика

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Резонанс

Резонанс - резкий рост амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешнего воздействия подходит к собственной частоте системы. В задании 17 «найти резонанс» означает буквально: найти точку максимума данной в условии функции отклика.

ВАЖНОЕ

Типовая формула отклика

A (ω) = \frac{C}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + b ω ^{2}}, ω > 0

Здесь $C$ - постоянная, $ω_{0}$ - собственная частота системы, $b > 0$ - коэффициент затухания. В условии числа уже подставлены: за $A (ω) = \frac{1536}{( 400 - ω ^{2} ) ^{2} + 288 ω ^{2}}$ стоят $C = 1536,$ $ω_{0}^{2} = 400,$ $b = 288 .$

Кривая отклика: один горб и один максимум

iЗАМЕЧАНИЕ

Максимум дроби - это минимум знаменателя

Числитель постоянен и положителен, знаменатель положителен. Дробь тем больше, чем меньше знаменатель; корень тем меньше, чем меньше подкоренное выражение. Вопросы «где $A$ наибольшее» и «где подкоренное наименьшее» имеют один ответ, а работать со вторым проще: там нет ни дроби, ни корня.

Замена, которая делает задачу квадратной

Подкоренное - многочлен четвёртой степени, но $ω$ входит в него только в чётных степенях. Замена $u = ω^{2}$ превращает его в обычный квадратный трёхчлен.

ВАЖНОЕ

Сведение к параболе

g (u) = (ω_{0}^{2} - u)^{2} + b u = u^{2} - (2 ω_{0}^{2} - b) u + ω_{0}^{4}

Старший коэффициент равен $1 > 0 :$ парабола ветвями вверх, наименьшее значение - в вершине

u_{0} = ω_{0}^{2} - \frac{b}{2}

Если $u_{0} > 0,$ искомая частота равна $ω = u_{0} .$

Пик стоит не там, где собственная частота

Вершина лежит в точке $u_{0} = ω_{0}^{2} - \frac{b}{2},$ а не в $u = ω_{0}^{2} .$ Затухание сдвигает максимум влево от собственной частоты и заодно занижает его: чем больше $b,$ тем сильнее сдвиг и тем более пологим становится горб.

Чем сильнее затухание, тем ниже и левее пик

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Вершина может выпасть из области

Если $b ⩾ 2 ω_{0}^{2},$ то $u_{0} ⩽ 0 :$ вершина лежит вне области $u > 0 .$ Тогда $g$ на всём луче только возрастает, а амплитуда монотонно убывает с ростом частоты - горба нет вовсе, система слишком сильно затухает. Проверка $u_{0} > 0$ - обязательный шаг исследования модели, а не формальность.

Когда числитель тоже зависит от частоты

Бывает, что и сама вынуждающая сила растёт с частотой. Так работает неуравновешенный ротор: чем быстрее вращается, тем сильнее бьёт, - и в числителе появляется $ω^{2} .$

ВАЖНОЕ

Переворот дроби

Пусть $A (ω) = \frac{a ω ^{2}}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + b ω ^{2}} .$ Разделим числитель и знаменатель на $ω^{2} > 0;$ под корнем это деление на $ω^{4} :$

A (ω) = \frac{a}{( \frac{ω _{0}^{2}}{ω ^{2}} - 1 ) ^{2} + \frac{b}{ω ^{2}}}

Числитель снова постоянен, а замена теперь $s = \frac{1}{ω ^{2}} .$

Числитель растёт вместе с квадратом частоты - пик уезжает вправо

Пик при этом уезжает вправо от собственной частоты, а хвост кривой не падает к нулю: на больших частотах амплитуда выходит на постоянный уровень $a .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Если переменная - период, а не частота

В формулах про качку и про толчки на стыках вместо $ω$ стоит период $τ,$ а выражение содержит $\frac{T ^{2}}{τ ^{2}},$ где $T$ - период собственных колебаний. Замена $u = \frac{T ^{2}}{τ ^{2}}$ работает точно так же: она тоже пробегает все положительные значения, только назад считается $τ = \frac{T}{u _{0}} .$ Если после этого спрашивают скорость, добавь последний шаг $v = \frac{l}{τ},$ где $l$ - расстояние между толчками.

Колебательный контур: резонанс без сдвига

ВАЖНОЕ

Ток в последовательном контуре

I (ω) = \frac{U}{R ^{2} + ( ω L - \frac{1}{ω C} ) ^{2}}

Под корнем - сумма постоянной $R^{2}$ и квадрата. Квадрат неотрицателен, поэтому подкоренное наименьшее ровно тогда, когда скобка обращается в нуль:

ω L = \frac{1}{ω C} ⟹ ω^{2} = \frac{1}{L C} ⟹ ω_{0} = \frac{1}{L C}

При этой частоте $I_{m a x} = \frac{U}{R}$ - как если бы в цепи не было ни катушки, ни конденсатора. Сдвига пика здесь нет: $R^{2}$ от частоты не зависит.

Резонанс в контуре: реактивные сопротивления сравнялись

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как оформить задание 17 на колебания

1. Проверь числитель. Не зависит от переменной - иди к шагу 3. Зависит (вид $a ω^{2}$ ) - подели числитель и знаменатель на $ω^{2},$ подкоренное на $ω^{4} .$
2. Запиши вывод словами: числитель постоянен, поэтому отклик наибольший там, где подкоренное выражение наименьшее. Без этой фразы решение теряет обоснование.
3. Выпиши подкоренное как функцию одной переменной и укажи область: $ω > 0$ или $τ > 0 .$
4. Сделай замену ( $u = ω^{2},$ $s = \frac{1}{ω ^{2}}$ или $u = \frac{T ^{2}}{τ ^{2}}$ ), отметь, что она пробегает все положительные значения, и раскрой скобки: получится $g (u) = u^{2} + p u + q .$
5. Найди вершину $u_{0} = - \frac{p}{2},$ проверь $u_{0} > 0$ и обоснуй минимум - ветвями вверх или знаком $g^{'} (u) = 2 u + p .$
6. Вернись к исходной переменной, взяв положительный корень, досчитай отклик и истолкуй ответ словами задачи.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Груз на пружине

Условие:
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний груза на пружине (в миллиметрах) зависит от циклической частоты $ω$ вынуждающей силы (в радианах в секунду) по формуле

A (ω) = \frac{1536}{( 400 - ω ^{2} ) ^{2} + 288 ω ^{2}}, ω > 0

При какой частоте амплитуда наибольшая и чему она равна?

ПРИМЕР 2

Колебательный контур

Условие:
Действующая сила тока в последовательном контуре (в амперах) зависит от циклической частоты $ω$ по формуле $I (ω) = \frac{U}{R ^{2} + ( ω L - \frac{1}{ω C} ) ^{2}},$ где $U = 220$ В, $R = 44$ Ом, $L = 0, 05$ Гн, $C = 8 \cdot 1 0^{- 5}$ Ф. Какова наибольшая сила тока и при какой частоте она достигается?

ПРИМЕР 3

Дисбаланс ротора

Условие:
Ротор с небольшим дисбалансом вращается с угловой скоростью $ω$ рад/с и раскачивает станину станка. Амплитуда колебаний станины (в миллиметрах) равна

A (ω) = \frac{1 , 5 ω ^{2}}{( 400 - ω ^{2} ) ^{2} + 288 ω ^{2}}, ω > 0

При какой угловой скорости ротора амплитуда будет наибольшей?

ПРИМЕР 4

Вагон на стыках рельсов

Условие:
Вагон идёт по пути со стыками рельсов через каждые $l = 25$ м. Амплитуда вертикальных колебаний кузова (в миллиметрах) зависит от периода толчков $τ$ (в секундах) по формуле

A (τ) = \frac{4 , 6}{( \frac{T ^{2}}{τ ^{2}} - 1 ) ^{2} + 0 , 72 \cdot \frac{T ^{2}}{τ ^{2}}}

где $T = 0, 8$ с - период собственных колебаний кузова. При какой скорости вагона амплитуда будет наибольшей? Ответ дайте в километрах в час.

Частые ошибки

✗НЕВЕРНО

Приравняли к нулю скобку

В формуле $A (ω) = \frac{1536}{( 400 - ω ^{2} ) ^{2} + 288 ω ^{2}}$ рассуждают так: «под корнем меньше всего, когда $400 - ω^{2} = 0$ », получают $ω = 20$ и сдают этот ответ.

Слагаемое $288 ω^{2}$ растёт вместе с частотой, поэтому обнулять скобку невыгодно: $f (20) = 115200,$ а $f (16) = 94464$ - заметно меньше. Обнулять скобку можно только там, где второе слагаемое от частоты не зависит: в задаче про контур, где рядом стоит постоянная $R^{2} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ дан в переменной замены

Ошибка: нашли вершину $u_{0} = 256$ и записали в ответ $256$ рад/с.
Правильно: $u = ω^{2},$ поэтому $ω = 256 = 16 .$ Рядом с заменой сразу выписывай обратную формулу: $ω = u,$ $ω = \frac{1}{s},$ $τ = \frac{T}{u} .$ Тогда шаг не потеряется, а заодно не забудется, что корень берётся положительный.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ без исследования и без истолкования

Ошибка: написать « $ω = 16$ » и поставить точку.
Правильно: номер 17 оценивают за развёрнутое решение. В нём обязаны быть три вещи: фраза про постоянный числитель, проверка, что найденная точка даёт минимум подкоренного и лежит в допустимой области ( $u_{0} > 0$ ), и последняя строка на языке задачи - «наибольшая амплитуда около $5$ мм достигается при частоте $16$ рад/с».

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: $8$ - $12$ минут вместе с оформлением. Это первая задача второй части, её берут почти все, кто до неё дошёл.
Шаблон первой строки. «Числитель постоянен, поэтому отклик наибольший там, где подкоренное выражение наименьшее.» Эта фраза открывает решение любой задачи темы и сразу задаёт план.
Не дифференцируй дробь целиком - утонешь в алгебре. Сведи к «постоянная делить на корень», а производную, если она нужна, бери от $g (u) :$ это линейная функция $2 u + p,$ знак читается мгновенно.
Проверка соседями. Подставь значение чуть меньше и чуть больше найденного - отклик обязан оказаться меньше. Ловит и арифметику, и перепутанные максимум с минимумом.
Перевод единиц - последним действием: $ω = \frac{2 π}{T},$ $v = \frac{l}{τ} .$ Сперва найди $ω$ или $τ,$ потом переводи.
Ориентир по числам. Задачи составляют так, чтобы корень из вершины извлекался нацело. Не извлекается - ищи ошибку в раскрытии скобок, а не новый метод.

КОРОТКО

Что запомнить

Числитель постоянен - значит, максимум отклика там, где подкоренное выражение наименьшее. Это первая строка решения и половина обоснования.
Замена $u = ω^{2}$ превращает многочлен четвёртой степени в параболу ветвями вверх; минимум - в вершине $u_{0} = ω_{0}^{2} - \frac{b}{2} .$
Пик стоит НЕ при $ω_{0} :$ затухание сдвигает его влево и занижает. При $b ⩾ 2 ω_{0}^{2}$ горба нет вовсе.
Числитель вида $a ω^{2}$ - подели числитель и знаменатель на $ω^{2}$ (подкоренное на $ω^{4}$ ) и меняй $s = \frac{1}{ω ^{2}};$ такой пик уезжает вправо от $ω_{0} .$
В контуре подкоренное имеет вид $R^{2} + (\dots)^{2} :$ минимум там, где скобка равна нулю, то есть при $ω_{0} = \frac{1}{L C},$ и тогда $I_{m a x} = \frac{U}{R} .$
Ответ обязан вернуться к исходной переменной, пройти проверку $u_{0} > 0$ и закончиться фразой на языке задачи.

Проверь себя0 из 4

1.Числитель формулы

A (ω) = \frac{C}{f ( ω )}

постоянен. Когда амплитуда наибольшая?

2.Для

A (ω) = \frac{240}{( 100 - ω ^{2} ) ^{2} + 72 ω ^{2}}

вершина параболы стоит в точке

u_{0},

равной

3.Числитель постоянен, затухание есть. Как частота максимума соотносится с собственной частотой

ω_{0} ?

4.Чему равна наибольшая сила тока в контуре

I (ω) = \frac{U}{R ^{2} + ( ω L - \frac{1}{ω C} ) ^{2}} ?