Касательная, хорда, секущая

Суть темы

Задание 1 профильного ЕГЭ проверяет базовые знания планиметрии. Тема «Касательная, хорда, секущая» встречается здесь не часто, но её свойства фундаментальны: они работают и в первой части, и в сложной планиметрической задаче 18.

Почти все задачи на эту тему решаются одним из двух приёмов. Первый - провести радиус в точку касания и получить прямой угол. Второй - связать угол между линиями с дугой окружности. Третий сценарий, метрический, использует формулу касательной и секущей из одной внешней точки.

Основные формулы и свойства

Для задания 1 достаточно четырёх фактов. Запомни их наизусть - остальное выводится.

ВАЖНОЕ

Касательная перпендикулярна радиусу

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Если прямая $l$ касается окружности с центром $O$ в точке $A\text{,}$ то $OA\perp l\text{,}$ то есть $\angle OAL=90^{\circ }$ для любой точки $L$ на касательной.

ВАЖНОЕ

Две касательные из одной точки

Отрезки двух касательных, проведённых из одной внешней точки к окружности, равны. Если из точки $P$ проведены касательные в точки $A$ и $B\text{,}$ то

$$PA=PB$$

Более того, прямая $PO$ (от точки до центра) является биссектрисой угла $APB$ и проходит через середину хорды $AB$ под прямым углом.

ВАЖНОЕ

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла:

$$\alpha =\frac{1}{2}\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$$

Из этого следует: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с противоположной стороны.

ВАЖНОЕ

Теорема о касательной и секущей

Если из внешней точки $M$ к окружности проведены касательная $MT$ ($T$ - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в ближней точке $A$ и дальней точке $B\text{,}$ то квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$$M{T}^2=MA\cdot MB$$

Дополнительно пригодятся ещё два факта про метрические соотношения внутри окружности.

Алгоритм решения

Примеры решения

Примеры идут от простого к сложному: свойство касательной и радиуса, угол между касательной и хордой, метрическая теорема.

ПРИМЕР 1

Радиус и касательная

Условие: Точка $O$ - центр окружности. Из внешней точки $K$ проведена касательная $KM$ ($M$ - точка касания) и секущая $KO\text{,}$ пересекающая окружность в ближней точке $N\text{.}$ Дуга $MN\text{,}$ заключённая внутри угла $MKO\text{,}$ равна $28^{\circ }\text{.}$ Найди угол $MKO\text{.}$ Ответ дай в градусах.

Частые ошибки

Что запомнить

• Увидел касательную - сразу проводи радиус в точку касания и ставь прямой угол.
• Две касательные из одной внешней точки равны ($PA=PB$), прямая от точки до центра - биссектриса угла между ними.
• Угол между касательной и хордой = половине дуги внутри угла = вписанному углу на эту же хорду с другой стороны.
• В теореме $M{T}^2=MA\cdot MB$ берётся расстояние от внешней точки до дальней точки окружности, а не длина хорды.
• Центральный угол = дуге, вписанный угол и угол между касательной и хордой = половине дуги.

Стратегия на экзамене