Исследование степенных и иррациональных… — ЕГЭ профиль

Суть темы

В задании 12 часто попадаются степенные функции вида $y = x^{n}$ и функции с корнями $x,$ $n x .$ Спрашивают одно из двух:

точку максимума/минимума — в ответ идёт координата $x;$
наибольшее/наименьшее значение на отрезке — в ответ идёт координата $y .$

Для степенных функций всё решается стандартно: производная, критические точки, знаки. Для иррациональных функций добавляются две детали: ОДЗ (подкоренное выражение чётного корня должно быть $⩾ 0$ ) и удобный приём — заменить функцию её степенью или логарифмом, чтобы избавиться от громоздких корней.

Основные формулы

ВАЖНОЕ

Производные степенных и иррациональных функций

(x^{n})^{'} (x)^{'} (n x)^{'} (C)^{'} = n \cdot x^{n - 1} = \frac{1}{2 x} = \frac{1}{n \cdot n x ^{n - 1}} = 0

ВАЖНОЕ

Правила дифференцирования

(u \pm v)^{'} (u \cdot v)^{'} (\frac{u}{v})^{'} (f (g (x)))^{'} = u^{'} \pm v^{'} = u^{'} v + u v^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Для корня от выражения удобно помнить частный случай правила сложной функции: если под корнем стоит $u (x),$ то

(u (x))^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{2 u ( x )}, (n u (x))^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{n \cdot n u ^{n - 1} ( x )} .

Именно эти формулы и вытаскивают из конструкции дробь: числитель — производная подкоренного выражения, знаменатель — его «корень нужной степени» с множителем.

Приём: монотонная композиция

Корни и высокие степени пугают, но есть приём, который избавляет от них полностью.

ВАЖНОЕ

Максимум увеличивающейся композиции

Если функция $φ$ строго возрастает на множестве значений $f,$ то

max f (x) ⟺ max φ (f (x)), min f (x) ⟺ min φ (f (x)) .

Точки экстремума совпадают, значение $y$ разное.

Главные случаи для экзамена:

$φ (t) = t^{k}$ для нечётного $k$ — возрастает на всей $R .$ Значит, у $y = (...)^{1/ k}$ экстремум там же, где у подкоренного выражения.
$φ (t) = t^{k}$ для чётного $k$ — возрастает при $t ⩾ 0 .$ Работает только для функций с неотрицательным значением ( $f ⩾ 0,$ например, квадратный корень).
$φ (t) = ln t$ — возрастает при $t > 0 .$ Позволяет превратить произведение в сумму, а степень — в множитель.

Это означает: чтобы найти максимум $u (x),$ можно сразу искать максимум $u (x)$ (если $u ⩾ 0$ ). Чтобы найти максимум $3 u (x)$ — просто максимум $u (x) .$ Производить дифференцирование всей громоздкой конструкции не нужно.

Алгоритм решения

Алгоритм чуть отличается в зависимости от того, просят точку экстремума или значение на отрезке.

АЛГОРИТМ

Наибольшее/наименьшее значение на отрезке

1. Найди ОДЗ. Для чётных корней: подкоренное выражение $⩾ 0 .$ Для дробей: знаменатель $\neq = 0 .$ Проверь, что заданный отрезок не вылезает за границы ОДЗ.
2. Найди производную $y^{'} .$ Используй таблицу производных и правила. Для корней удобна формула $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u} .$
3. Реши уравнение $y^{'} = 0 .$ Корни — критические точки. Отбрось те, что не попали в отрезок.
4. Посчитай $y$ в трёх местах: на двух концах отрезка и во всех критических точках внутри. Наибольшее из полученных чисел — наибольшее значение, наименьшее — наименьшее.

Для задачи «найдите точку максимума/минимума» без отрезка шаг 4 другой: вместо подстановки смотри смену знака производной. Переход $+ \to -$ — точка максимума, $- \to +$ — точка минимума.

Примеры решения

Три примера: от простой степенной функции на отрезке к иррациональной с приёмом монотонной композиции.

ПРИМЕР 1

Степенная функция на отрезке

Условие:
Найди наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{3} - 12 x + 5$ на отрезке $[- 1; 3] .$

ПРИМЕР 2

Корень из квадратного трёхчлена

Условие:
Найди наименьшее значение функции $y = x^{2} - 8 x + 20 .$

ПРИМЕР 3

Корень и отрезок

Условие:
Найди наибольшее значение функции $y = 5 + 4 x - x^{2} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

ОДЗ корня

Ошибка: при поиске наибольшего значения $y = u (x)$ подставить в функцию тот $x,$ где $u (x) < 0 .$
Правильно: до начала вычислений выпиши условие $u (x) ⩾ 0$ и проверь, что и критические точки, и концы отрезка ему удовлетворяют. Точки с $u (x) < 0$ просто не принадлежат области определения.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забыли про концы отрезка

Ошибка: найти критическую точку внутри отрезка, посчитать там значение и сразу записать в ответ как наибольшее/наименьшее.
Правильно: на отрезке наибольшее/наименьшее значение может достигаться и в критических точках, и на концах. Обязательно считаешь $y$ во всех трёх (или более) точках и сравниваешь.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Производная корня без внутренней функции

Ошибка: для $y = u (x)$ написать $y^{'} = \frac{1}{2 u ( x )},$ забыв домножить на $u^{'} (x) .$
Правильно: $(u (x))^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{2 u ( x )} .$ Без $u^{'}$ в числителе производная неверная — и критические точки получатся не те.

Что запомнить

✓СОВЕТ

Проверка: красивый ответ

В первой части ЕГЭ ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Значит, в найденной точке подкоренное выражение обязано превращаться во что-то «красивое»: полный квадрат, единицу, ноль. Если получился $7$ или $310$ — почти наверняка где-то ошибка в производной.

✓СОВЕТ

Стратегия с монотонной композицией

Перед тем как дифференцировать $u (x)$ или $3 u (x),$ подумай: может, достаточно найти экстремум $u (x) ?$ Для $n u$ с нечётным $n$ — достаточно всегда; для чётного $n$ — если $u ⩾ 0 .$ Это экономит половину вычислений и уменьшает шанс ошибки в производной.

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия

Время: 5-10 минут. Задание 12 — последнее в первой части КИМ-2026, часто решается после более простых.
Что быстрее всего: «точка экстремума» степенной функции. Производная — многочлен, её корни ищутся через теорему Виета или дискриминант.
Что дольше: «значение на отрезке» с корнем или дробью. Тут нужно аккуратно считать $y$ в трёх местах и сравнивать знаки.
Проверка: если критическая точка оказалась вне отрезка, функция на отрезке монотонна. Значит, экстремумы достигаются на концах — просто сравни $y$ в двух крайних точках.
Самопроверка ответа: в функции с корнем правильный $x$ превращает подкоренное выражение в квадрат целого числа (или простую дробь). Если получается $13$ — пересчитай производную.

Проверь себя0 из 4

1.В задании просят найти точку минимума функции. Что идёт в ответ?

2.Чему равна производная

y = u (x) ?

3.Чему равно наименьшее значение функции

y = x^{2} - 8 x + 20 ?

4.Когда экстремумы

3 u (x)

совпадают с экстремумами

u (x) ?