Наибольшее и наименьшее значение функции — ЕГЭ профиль

О задании

Задание 12 закрывало первую часть профильного ЕГЭ по математике в КИМ-2026. Оно проверяло умение работать с производной аналитически: дифференцировать функции, находить критические точки и вычислять наибольшие/наименьшие значения на отрезке. Отдельного номера в КИМ-2027 у него нет, но материал никуда не делся: спецификация прямо требует этого от задания 9 («использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций»), и все экзаменационные задачи жанра лежат теперь там. Так что конспект остаётся рабочим - меняется только номер, под которым это встретится на экзамене. Все номера заданий в тексте ниже даны по КИМ-2026.

Формат ответа: Целое число или конечная десятичная дробь.
Уровень сложности: Повышенный.
Максимальный балл: 1 первичный балл.

Какие темы встречаются

На практике здесь встречаются четыре основных типа уравнений:

1. Многочлены (кубические функции вида $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ).
2. Произведения с экспонентой (например, $y = (x - a)^{2} \cdot e^{b - x}$ ).
3. Функции с натуральным логарифмом (например, $y = a ln (x - b) - c x$ ).
4. Дробно-рациональные функции (например, $y = x + \frac{a}{x}$ ).

Основные формулы

Для успешного решения необходимо помнить таблицу производных и базовые правила дифференцирования.

ВАЖНОЕ

Правила дифференцирования

Производная произведения:

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Производная частного (дроби):

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Производная сложной функции:

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

ВАЖНОЕ

Таблица базовых производных

(x^{n})^{'} = n \cdot x^{n - 1}

(e^{x})^{'} = e^{x} и (e^{- x})^{'} = - e^{- x}

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

(C)^{'} = 0 (где C - любое число)

Общий алгоритм решения

Главное в этом задании - внимательно прочитать вопрос. Алгоритм немного меняется в зависимости от того, что именно просят найти.

Точка максимума / минимума - это координата по оси $X .$
Наибольшее / наименьшее значение - это координата по оси $Y .$

Связь знака производной и поведения функции

АЛГОРИТМ

Как решать задание 12

1. Найди область допустимых значений (ОДЗ). Это особенно важно для функций с логарифмами ( $x > 0$ ) и дробями (знаменатель $\neq = 0$ ).
2. Вычисли производную $y^{'} .$ Используй правила дифференцирования.
3. Приравняй производную к нулю ( $y^{'} = 0$ ). Реши полученное уравнение. Его корни - это критические точки (подозрительные на экстремум).
4. Отметь точки на числовой прямой. Расставь знаки производной на полученных интервалах.

Если $y^{'}$ меняет знак с $+$ на $-$ $⟹$ это точка максимума.
Если $y^{'}$ меняет знак с $-$ на $+$ $⟹$ это точка минимума.

5. Запиши ответ.

Если просили найти точку (максимума/минимума) - в ответ идёт найденный $x .$
Если просили найти значение - подставь найденный $x$ в исходную функцию (в условие) и посчитай $y .$
Если просят наибольшее/наименьшее значение на отрезке, проверь, попадает ли критическая точка в отрезок, а затем подставь в исходную функцию саму точку и концы отрезка, чтобы выбрать нужное значение.

Примеры решения

Расположим примеры от простых многочленов к более сложным комбинированным функциям.

ПРИМЕР 1

Точка экстремума многочлена

Условие:
Найдите точку минимума функции $y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 7 .$

ПРИМЕР 2

Значение на отрезке (логарифмическая функция)

Условие:
Найдите наименьшее значение функции $y = 5 x - 5 ln (x + 3) + 4$ на отрезке $[- 2, 5; 0] .$

ПРИМЕР 3

Комбинация с экспонентой (производная произведения)

Условие:
Найдите точку максимума функции $y = (x + 5)^{2} \cdot e^{3 - x} .$

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Путаница между точкой и значением

Ошибка: В ответ на вопрос «Найдите точку минимума» записать значение $y,$ или наоборот.
Правильно: Чётко запомни: слово «точка» - это всегда $x .$ Слово «значение» - это всегда $y .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Подстановка

x

в производную

Ошибка: При поиске наибольшего значения подставить найденный корень $x$ в выражение для производной $y^{'},$ а не в исходную функцию. Естественно, получается $0,$ и это пишется в ответ.
Правильно: Как только ты нашел $x,$ забудь про производную. Вычисляй значение только по исходной формуле $y = \dots$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Игнорирование сложной функции

Ошибка: При дифференцировании выражения $e^{5 - x}$ написать просто $e^{5 - x},$ забыв умножить на производную показателя степени. В итоге теряется минус, и знаки экстремумов меняются на противоположные.
Правильно: Всегда бери производную от «внутренности». $(e^{5 - x})^{'} = e^{5 - x} \cdot (5 - x)^{'} = - e^{5 - x} .$

Стратегия на экзамене

✓СОВЕТ

Стратегия выполнения задания 12

Ориентировочное время: 5-10 минут.
Очерёдность: Оставь на финал первой части. Оно требует аккуратных вычислений на черновике, где легко допустить глупую ошибку из-за спешки.
Математический лайфхак: В задачах на поиск значения функции с $e$ или $ln$ ответ должен вписаться в клеточки ЕГЭ. Трансцендентные числа (типа $e^{2}$ или $ln 3$ ) записать в бланк невозможно. Значит, при подстановке $x$ показатель степени экспоненты обязан обратиться в $0$ ( $e^{0} = 1$ ), а аргумент логарифма обязан обратиться в $1$ ( $ln 1 = 0$ ). Если на экзамене не остаётся времени на производную - просто приравняй скобку при логарифме к единице, найди $x$ и подставь его в функцию. В 90% случаев это сработает.

Проверь себя0 из 4

1.В ответ на вопрос «Найдите точку минимума функции» нужно записать...

2.Чему равна производная

(e^{3 - x})^{'} ?

3.Производная меняет знак с

+

на

-

при переходе через точку

x_{0} .

Что это за точка?

4.Найди точку минимума функции

y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 7 .