Иррациональные уравнения
Задание 7 проверяет умение решать простейшие уравнения: линейные, квадратные, логарифмические, показательные и иррациональные. Иррациональные уравнения — это те, в которых неизвестная переменная x находится под знаком корня.
На экзамене эта тема занимает второе место по частоте после показательных уравнений. Конструкции здесь максимально классические и не требуют сложных преобразований, но поймать вычислительную ошибку или забыть про свойства корня очень легко.
Суть и главная опасность темы
Главный приём решения — избавление от знака корня путём возведения обеих частей в нужную степень. Но у квадратного корня есть особенность: возведение в квадрат — неравносильное преобразование. Оно может добавить к правильному ответу лишний, «посторонний» корень. Поэтому для квадратного корня обязательна либо проверка подстановкой, либо учёт ОДЗ.
У кубического корня (и любого корня нечётной степени) такой проблемы нет: возведение в куб — равносильное преобразование.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Возведение в квадрат добавляет корни
Если возвести в квадрат уравнение x=−2, получится x=4. Но изначально уравнение не имеет решений: арифметический квадратный корень не может равняться отрицательному числу. Значит, x=4 — посторонний корень, появившийся из-за возведения в квадрат.
Вывод: после возведения в квадрат всегда либо подставляй найденные корни в исходное уравнение, либо следи за ОДЗ заранее.
Основные формулы
В задании 7 встречаются три ключевые конструкции. Для каждой есть свой равносильный переход.
ВАЖНОЕ
Корень равен числу
Если справа стоит число (константа), уравнение решается возведением в квадрат, но только при неотрицательном правом числе:
f(x)=a⟺{f(x)=a2,a⩾0.При a<0 уравнение не имеет корней.
iЗАМЕЧАНИЕ
Почему ОДЗ можно не выписывать
Подкоренное выражение обязано быть неотрицательным: f(x)⩾0. Но если справа стоит число a⩾0, то после возведения в квадрат получается f(x)=a2, а квадрат неотрицателен автоматически. Поэтому в простейшем случае отдельно выписывать ОДЗ не нужно — достаточно проверить, что справа не стоит отрицательное число.
ВАЖНОЕ
Корень равен выражению с переменной
Если справа стоит не число, а выражение g(x), нужно отдельно следить за его знаком, иначе появятся посторонние корни:
f(x)=g(x)⟺{f(x)=g(x)2,g(x)⩾0.Условие f(x)⩾0 выполнится автоматически: оно следует из равенства f(x)=g(x)2.
ВАЖНОЕ
Равенство двух корней
Когда корни стоят с обеих сторон, приходится проверять ОДЗ отдельно — правила «неотрицательности квадрата» тут не помогают:
f(x)=g(x)⟺{f(x)=g(x),f(x)⩾0.Второе условие можно заменить на g(x)⩾0 — любое из двух, так как из равенства подкоренных выражений второе следует автоматически.
ВАЖНОЕ
Кубический корень
Кубический корень (и любой корень нечётной степени) может равняться любому числу, в том числе отрицательному. Подкоренное выражение тоже может быть любым:
3f(x)=a⟺f(x)=a3.Проверка знаков не нужна: куб — равносильное преобразование.
Алгоритм решения
В задании 7 тебе почти всегда достанется уравнение вида ax+b=c или 3ax+b=c. Реже — комбинированное уравнение (корень + логарифм, корень + квадрат). Алгоритм универсален.
АЛГОРИТМ
Алгоритм решения простейшего иррационального уравнения
1. Изолируй корень. Проверь, что корень стоит с одной стороны равенства, а всё остальное — с другой.
2. Оцени правую часть. Для квадратного корня: если справа отрицательное число — корней нет, ответ записать нельзя. Если справа ноль или положительное число — всё в порядке. Для кубического корня этот шаг пропускается.
3. Возведи обе части в степень. В квадрат для квадратного корня, в куб — для кубического. Знак корня исчезнет.
4. Реши полученное уравнение. Обычно это простое линейное уравнение, иногда квадратное или логарифмическое.
5. Сделай проверку. Подставь найденный x в исходное уравнение и проверь, что левая часть совпала с правой. Если получилось несколько корней и просят «больший» или «меньший» — выбери нужный.
Примеры решения
Три задачи от разгоночной до комбинированной с отбором корней.
ПРИМЕР 1
Квадратный корень от линейного выражения
Условие:
Найди корень уравнения 82−9x=8.
1. Справа стоит положительное число 8 — можно смело возводить обе части в квадрат:
(82−9x)2=8282−9x=642. Решаем линейное уравнение. Перенесём 82 вправо, а −9x оставим слева:
−9x=64−82−9x=−18x=−9−18=23. Проверка: 82−9⋅2=82−18=64=8. Всё сходится.
Ответ: 2
ПРИМЕР 2
Кубический корень
Условие:
Найди корень уравнения 34x−11=5.
ПРИМЕР 3
Комбинированное уравнение с отбором корней
Условие:
Реши уравнение log2(3x2−11)=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажи больший из них.
Отбор корней по ОДЗ
В задании 7 встречается особая разновидность — квадратное уравнение под корнем, после решения которого нужно выбрать только подходящие корни. Разберём общий принцип на простом примере.
Допустим, ты решаешь уравнение x2−5=2. После возведения в квадрат: x2−5=4, x2=9, x=±3. Оба корня дают x2=9⩾5, значит оба проходят ОДЗ, и оба подходят. Если в условии сказано «укажи меньший» — пишешь −3, «больший» — пишешь 3.
А если бы уравнение было x2+x−12=2, получилось бы x2+x−16=0, и корни x1,2=2−1±65 — уже не подходящий для первой части ответ. В задании 7 числа всегда подобраны так, чтобы корни были целыми.
✓СОВЕТ
Когда подстановка сокращает работу
Если в уравнении после возведения в квадрат появилось два корня — не ленись подставить оба. Иногда один корень делает подкоренное выражение отрицательным или правую часть недопустимой — и его нужно отбросить. Подстановка займёт 30 секунд и убережёт от потерянного балла.
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Квадратный корень равен отрицательному числу
Ошибка: В уравнении 2x−1=−3 возвести обе части в квадрат и получить 2x−1=9, x=5.
Правильно: Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Уравнение 2x−1=−3 не имеет действительных корней. В первой части ЕГЭ такие задания встречаются редко, но если увидишь отрицательное число справа — не трогай, а сразу перечитай условие: возможно, ты неправильно переписал знак.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Потеря отрицательного корня при x2=a
Ошибка: В конце решения получить x2=36 и написать в ответе только x=6, забыв про x=−6.
Правильно: Уравнение x2=36 всегда даёт два корня: x=6 и x=−6. Обязательно находи оба, а потом внимательно перечитай условие — какой из них нужен (больший, меньший, положительный).
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Вычислительные ошибки со степенями
Ошибка: При возведении в куб считать, что 43=12 или 33=9.
Правильно: Степень — это многократное умножение числа на само себя. 43=4⋅4⋅4=64, 33=27, 53=125. Держи эти значения в голове — они встречаются в заданиях 7 и 8 регулярно.
Что запомнить
- Квадратный корень снимается возведением обеих частей в квадрат, кубический — в куб.
- Возведение в квадрат — неравносильное преобразование: проверка подстановкой обязательна.
- Если справа от квадратного корня стоит число a⩾0, отдельно выписывать ОДЗ не нужно.
- Если справа стоит выражение с x, обязательно требуй g(x)⩾0.
- После решения квадратного уравнения x2=a получается два корня — ±a. Не теряй отрицательный.
- Подстановка найденного x в исходное уравнение — твой лучший инструмент самопроверки.
Стратегия на экзамене
✓СОВЕТ
Стратегия выполнения задания 7
- Ориентировочное время: 2-4 минуты. Это одна из самых быстрых задач первой части.
- Приоритет: Решай в первую очередь, сразу после старта. Это «железный» балл, который нужно забирать в разогрев.
- Самопроверка: Для задания 7 существует идеальный метод самопроверки — прямая подстановка найденного числа в исходное уравнение. На черновике обязательно пропиши эту подстановку до конца. Если равенство сошлось (7=7, 5=5) — можешь смело переносить ответ в бланк.
- Формат ответа: Ответ всегда целое число или конечная десятичная дробь. Если получилась бесконечная дробь вроде 31 — ищи арифметическую ошибку.
- При нескольких корнях: Перечитай условие. Фразы «больший из корней», «меньший из корней», «положительный корень» — ловушки, на которых теряют балл даже сильные ученики.
Проверь себя0 из 4
1.Уравнение x=−5...
2.Чему равносильно уравнение f(x)=g(x)?
3.Найди корень уравнения 32x−6=2.
4.Уравнение x2=49 имеет корни...