Гиперболы на графиках
Задание 12 проверяет умение работать с графиками функций. Гипербола - одна из самых популярных функций в этом номере. Задачи делятся на два основных сюжета: найти значение функции по её графику и найти координату точки пересечения гиперболы с прямой.
В этом номере требуется дать краткий ответ: целое число или конечную десятичную дробь.
Суть темы и основные формулы
График обратной пропорциональности называется гиперболой. В задании 12 чаще всего встречается базовая форма, реже - со сдвигом вдоль осей.
ВАЖНОЕ
Уравнение базовой гиперболы
f(x)=xkКоэффициент k отвечает за расположение ветвей и их «отдалённость» от осей:
- Если k>0, ветви лежат в I и III координатных четвертях.
- Если k<0, ветви лежат во II и IV координатных четвертях.
Для задач на пересечение понадобится ещё одно уравнение - линейной функции.
ВАЖНОЕ
Уравнение прямой
g(x)=ax+b(иногда обозначают как kx+b, но чтобы не путать с коэффициентом гиперболы, удобнее взять a).
- a - угловой коэффициент (тангенс угла наклона).
- b - ордината точки пересечения прямой с осью Y.
Иногда в задаче встречается гипербола, сдвинутая вдоль осей. Её легко узнать по пунктирным асимптотам, которые не совпадают с осями координат.
ВАЖНОЕ
Сдвинутая гипербола
f(x)=x−x0k+y0- x=x0 - вертикальная асимптота (где знаменатель обращается в ноль).
- y=y0 - горизонтальная асимптота (значение, к которому стремится f(x) при x→±∞).
Чтобы найти k, выбери любой узел решётки (x;y), через который точно проходит график, и подставь в уравнение: k=(x−x0)(y−y0).
Алгоритм решения
В более сложных прототипах задания 12 даны графики гиперболы и прямой, которые пересекаются в точках A и B. Координаты одной точки (обычно A) считываются прямо с рисунка, а вторая точка лежит за пределами видимой области графика.
АЛГОРИТМ
Алгоритм поиска точки пересечения
1. Восстанови уравнение гиперболы. Выбери жирно отмеченный узел решётки, через который проходит гипербола, и умножь его абсциссу на ординату (k=x⋅y). Запиши f(x)=xk.
2. Восстанови уравнение прямой. Выбери два узла на прямой. Коэффициент b - это ордината точки пересечения с осью Y. Коэффициент a найди как отношение вертикального катета к горизонтальному в прямоугольном треугольнике, достроенном между двумя узлами. Запиши g(x)=ax+b.
3. Приравняй функции. Запиши f(x)=g(x), то есть xk=ax+b.
4. Сведи к квадратному уравнению. Домножь обе части на x и перенеси всё в одну сторону. Получишь ax2+bx−k=0. Найди два корня через дискриминант или теорему Виета.
5. Выбери нужный корень. Один из корней совпадёт с абсциссой точки A (её видно на графике) - это самопроверка. Второй корень - это абсцисса искомой точки B.
6. Вычисли ординату, если спрашивают. Подставь абсциссу точки B в уравнение прямой g(x) (или в f(x) - результат обязан совпасть).
Примеры решения задач
Разберём три типа задач: от одиночной гиперболы до пересечения со сдвигом.
ПРИМЕР 1
Значение функции по графику
На рисунке изображён график функции вида f(x)=xk. Найди значение f(25).
✓СОВЕТ
Знак - первая проверка
Прежде чем считать k=x⋅y, посмотри на четверти. Ветви во II и IV - значит k обязан быть отрицательным. Если у тебя в ответе получился положительный k, где-то потерян минус координаты.
ПРИМЕР 2
Абсцисса второй точки пересечения
На рисунке изображены графики функций f(x)=xk и g(x)=ax+b, пересекающиеся в точках A и B. Точка A имеет координаты (2;3). Найди абсциссу точки B.
Следующий пример чуть сложнее: ищем ординату, а уравнение прямой имеет отрицательный угловой коэффициент.
ПРИМЕР 3
Ордината второй точки пересечения
На рисунке изображены графики функций f(x)=xk и g(x)=ax+b, пересекающиеся в точках A и B. Точка A имеет координаты (1;4). Найди ординату точки B.
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Знак k определяется четвертью
Ошибка: Взять точку (−2;4) на графике гиперболы, расположенной во II и IV четвертях, и записать k=8, проигнорировав минус.
Правильно: Всегда учитывай знаки координат. k=(−2)⋅4=−8. Если ветви во II и IV четвертях, коэффициент k обязан быть отрицательным; если в I и III - положительным. Знак k и расположение ветвей должны согласовываться - это самопроверка.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Ордината вместо абсциссы
Ошибка: Найти абсциссу точки B (x=−3), по привычке подставить её в уравнение, получить ординату (y=−2) и записать в ответ −2.
Правильно: Внимательно читай вопрос. «Найди абсциссу» - в ответ идёт x. «Найди ординату» - в ответ идёт y. Если в условии «абсцисса» - вычисление ординаты делать не нужно вовсе.
Стратегия на экзамене
✓СОВЕТ
Стратегия
- Ориентировочное время: 5-8 минут.
- Очерёдность: Решай в первую половину экзамена вместе с остальной тестовой частью. Алгоритм прозрачен, вычисления не громоздкие.
- Опорные точки: Берите только жирно выделенные узлы решётки. Точка «на глаз» в миллиметре от пересечения клеток даст неправильный k и весь ответ.
- Как проверить ответ: В задаче на пересечение «лишний» корень квадратного уравнения обязан совпасть с абсциссой точки A, которую видно на графике. Если не совпадает - ищи ошибку в f(x) или g(x).
- Двойная проверка ординаты: Если нашёл yB, подставь xB и в g(x), и в f(x). Результаты должны совпасть.
Проверь себя0 из 4
1.Гипербола y=xk проходит через точку (−2;4). Чему равен k?
2.Ветви гиперболы y=xk лежат во II и IV четвертях. Что можно сказать о k?
3.Графики f(x)=x6 и g(x)=x+1 пересекаются в точках с абсциссами 2 и −3. Какова ордината точки с абсциссой −3?
4.У гиперболы y=x−23+1 вертикальная асимптота задаётся уравнением: