Геометрический смысл производной, касательная

Суть темы

В задании 9 профильного ЕГЭ самая частая подтема — геометрический смысл производной. Тебе дают график функции с проведённой касательной и просят найти $f^{\prime }(x_0)\text{.}$ Формулу функции знать не нужно: вся информация уже нарисована.

Производная в точке показывает скорость изменения функции. На графике эта скорость равна наклону касательной — прямой, которая «прилипает» к графику в окрестности точки касания.

Основные формулы и факты

Вся теория строится на одном равенстве, связывающем производную и наклон касательной.

ВАЖНОЕ

Геометрический смысл производной

Значение производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной и тангенсу угла наклона $\alpha$ этой касательной к положительному направлению оси $X\text{:}$

$$f^{\prime }(x_0)=k=\mathrm{tg}\alpha =\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Уравнение любой прямой, в том числе касательной, имеет вид $y=kx+b\text{.}$ Коэффициент $k$ отвечает за наклон, и именно он равен производной в точке касания.

Знак производной жёстко связан с направлением касательной:

• касательная идёт вверх (слева направо) $⟹$ угол $\alpha$ острый $⟹\mathrm{tg}\alpha >0⟹f^{\prime }(x_0)>0\text{;}$
• касательная идёт вниз $⟹$ угол $\alpha$ тупой $⟹\mathrm{tg}\alpha <0⟹f^{\prime }(x_0)<0\text{;}$
• касательная горизонтальна $⟹\alpha =0^{\circ }⟹\mathrm{tg}\alpha =0⟹f^{\prime }(x_0)=0$ (это точка экстремума).

Алгоритм решения

На ЕГЭ график и касательная уже нарисованы. Твоя задача — аккуратно снять наклон через прямоугольный треугольник.

Примеры решения

Ниже — четыре типа задач: чтение графика с положительной и отрицательной касательной, обратная задача про параллельные прямые и составление уравнения касательной по формуле.

ПРИМЕР 1

Положительная производная

Условие:
На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0\text{.}$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0\text{.}$

Помимо чтения готового графика, задание 9 иногда проверяет обратную задачу: найти точку, в которой касательная имеет заданный наклон.

Частые ошибки

Что запомнить

• Производная в точке равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси $X\text{.}$
• Касательная вверх — плюс, вниз — минус, горизонтальна — ноль.
• Наклон считается по двум жирным точкам на касательной: $\frac{\text{клетки по вертикали}}{\text{клетки по горизонтали}}\text{.}$
• Параллельные прямые имеют равные $k\text{,}$ значит, равны и производные в соответствующих точках.
• Уравнение касательной: $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\text{.}$

Стратегия на экзамене