Геометрическая оптимизация — ЕГЭ профиль

Геометрическая оптимизация (Задание 17)

Загон из купленной сетки, коробка из листа жести, бак наименьшего веса, дорога от завода до станции. Свободу выбора здесь даёт ровно один отрезок: сделаешь его длиннее - что-то выиграешь и что-то потеряешь. Задание 17 просит найти ту длину, при которой выигрыш наибольший, и обосновать выбор.

Чем этот сюжет отличается от остальных

В других задачах 17 номера формулу дают прямо в условии: мощность в цепи, амплитуда качки, концентрация препарата. Здесь её нет - целевую функцию надо собрать самому из площадей, объёмов и теоремы Пифагора.

iЗАМЕЧАНИЕ

Половина работы делается до производной

Техника тут самая простая во всём номере: выходит либо квадратичная функция, либо сумма вида $x^{2} + \frac{c}{x} .$ Зато оба балла теряют раньше производной - на неверной функции или забытом ограничении.

Целевая величина и связь

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Две вещи, которые надо найти в условии

Целевая величина - то, что просят сделать наибольшим или наименьшим: площадь, объём, длина, стоимость.
Связь - равенство, которое навязывает условие: задана длина ограды, задан объём бака, вершина лежит на гипотенузе. Связь выражает все размеры через одну переменную, и целевая величина становится функцией одной переменной - дальше обычное исследование на экстремум.

Задана длина - ищем площадь

Загон с перегородкой: три стороны длины x и две длины y

ВАЖНОЕ

Прямоугольник при заданной длине ограды

Обычный прямоугольник с периметром $P :$

2 x + 2 y = P ⟹ S (x) = x (\frac{P}{2} - x)

Участок у стены (одна сторона забора не нужна), всего $P$ метров сетки:

2 x + y = P ⟹ S (x) = x (P - 2 x)

Загон с перегородкой длины $x,$ всего $L$ метров сетки:

3 x + 2 y = L ⟹ S (x) = x \cdot \frac{L - 3 x}{2}

Везде выходит квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом: хватит вершины $x_{0} = - \frac{b}{2 a} .$

Задан объём - ищем поверхность

ВАЖНОЕ

Бак с квадратным дном

Сторона дна $x,$ высота $h,$ объём $V$ задан:

x^{2} h = V ⟹ h = \frac{V}{x ^{2}}

Бак без крышки (дно и четыре стенки) и бак закрытый:

S_{откр} = x^{2} + 4 x h = x^{2} + \frac{4 V}{x}, S_{закр} = 2 x^{2} + \frac{4 V}{x}

Появилось слагаемое $\frac{c}{x}$ - парабола уже не спасает, нужна производная.

Расстояния: корень и подобие

ВАЖНОЕ

Две связи, которые даёт чертёж

Теорема Пифагора - длина наклонной, если точка бежит по прямой:

A C = a^{2} + x^{2}

Подобие - если вершина лежит на наклонной прямой:

\frac{y}{b} = \frac{a - x}{a} ⟹ y = b (1 - \frac{x}{a})

Производные, которых в других сюжетах не встретишь:

(a^{2} + x^{2})^{'} = \frac{x}{a ^{2} + x ^{2}}, (\frac{c}{x})^{'} = - \frac{c}{x ^{2}}

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на геометрическую оптимизацию

1. Нарисуй чертёж и обозначь один отрезок. Букву даёшь той длине, которую можно менять, и сразу с единицами: «пусть $x$ см - сторона дна».
2. Приведи данные к одной единице. Литры - в кубические сантиметры, метры - в сантиметры. До составления функции, а не после.
3. Выпиши связь, вырази через $x$ остальные размеры и составь целевую функцию. Задана ограда - выражай вторую сторону; задан объём - высоту; точка на прямой - второй катет через подобие или теорему Пифагора.
4. Выпиши область допустимых значений прямо с чертежа. Каждая длина положительна - это даёт и левую, и правую границу.
5. Исследуй. Квадратичная функция - вершина и направление ветвей; иначе производная и знаки по обе стороны от критической точки.
6. Вернись к вопросу. Посчитай величину, о которой спрашивают, допиши единицы и подставь размеры обратно в связь.

Примеры решения

ПРИМЕР 1

Загон с перегородкой

Условие:
Фермер огораживает прямоугольный загон и делит его перегородкой, параллельной одной из сторон, на два равных участка. Всего есть $180$ м сетки - она идёт и на внешнюю ограду, и на перегородку. Какую наибольшую площадь может иметь загон?

График площади загона: на концах промежутка нули, максимум внутри

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему максимум обязан быть внутри

На обоих концах промежутка функция обращается в ноль: при $x = 0$ загона нет вовсе, при $x = 60$ вся сетка ушла на три стороны длины $x .$ Между двумя нулями непрерывная положительная функция обязана иметь максимум внутри - поэтому здесь критическая точка почти всегда единственная.

ПРИМЕР 2

Бак наименьшей площади

Условие:
Открытый сверху бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном и вмещает $4$ литра. Найдите наименьшую возможную площадь его поверхности (дно и четыре стенки). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

ПРИМЕР 3

Дешевле всего от завода до станции

Условие:
Завод $A$ расположен в $4$ км от прямолинейного участка железной дороги; $H$ - основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на дорогу. Станция $B$ находится на дороге в $12$ км от $H .$ Шоссе прокладывают по ломаной $A \to C \to B,$ где $C$ - точка дороги между $H$ и $B .$ Километр участка $A C$ по полю стоит $5$ млн рублей, километр участка $C B$ вдоль насыпи - $3$ млн рублей. Какова наименьшая возможная стоимость шоссе?

Ломаная трасса от завода к станции через точку C на железной дороге

ПРИМЕР 4

Прямоугольник, вписанный в треугольник

Условие:
В прямоугольный треугольник с катетами $12$ и $9$ вписан прямоугольник: две его стороны лежат на катетах, а одна вершина - на гипотенузе. Какова наибольшая возможная площадь такого прямоугольника?

Прямоугольник, вписанный в прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9

Частые ошибки

✗НЕВЕРНО

Решили, что оптимум - обязательно квадрат

Условие примера 1: $180$ м сетки, загон с перегородкой.
Неверное рассуждение: «наибольшая площадь у квадрата», поэтому из $3 x + 2 y = 180$ при $x = y$ выходит $x = 36$ и $S = 1296$ м $^{2} .$
Что не так: правило про квадрат верно, только когда все четыре стороны входят в связь с одинаковым весом. Перегородка (как и стена, которую не надо огораживать) ломает симметрию: сторона, входящая в расход трижды, обязана быть короче. Верный ответ - $1350$ м $^{2} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Перегородку не включили в расход сетки

Ошибка: записать $2 x + 2 y = 180,$ получить $x = 45$ и $S = 2025$ м $^{2} .$
Правильно: «сетка идёт и на ограду, и на перегородку» означает $3 x + 2 y = 180 .$ Сложи все отрезки чертежа и сравни сумму с данным числом.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Единицы перевели после решения, а не до

Ошибка: в примере 2 подставить объём как $4 :$ тогда $S (x) = x^{2} + \frac{16}{x},$ критическая точка $x = 2$ и ответ $12 .$
Правильно: $1$ л $= 1000$ см $^{3},$ в функцию идёт $4000 .$ Ответы отличаются ровно в сто раз, и ошибочный выглядит правдоподобно.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Область допустимых значений сузили до

x > 0

Ошибка: в примере 1 написать « $x > 0$ » и на этом остановиться.
Правильно: вторая сторона тоже положительна: $90 - 1, 5 x > 0,$ откуда $x < 60 .$ Правая граница приходит от второго размера, а не от того, что обозначили буквой.

КОРОТКО

Что запомнить

Ищи в условии две вещи: целевую величину и связь. Связь убирает вторую переменную.
Задана длина ограды - функция квадратичная, хватит вершины и ветвей; задан объём - появляется $\frac{c}{x}$ и нужна производная.
Точка на прямой - наклонная равна $a^{2} + x^{2};$ вершина на наклонной - связь даёт подобие.
ОДЗ читается с чертежа: положительны все размеры, а не только $x .$
Ответ - величина из вопроса с единицами; размеры подставь обратно в связь.

✓СОВЕТ

Стратегия

Тайминг: $15$ - $20$ минут, треть из них на чертёж и связь - там прячутся ошибки.
Чертёж обязателен для себя. Эксперт его не требует, но именно на рисунке видно, сколько раз каждая сторона входит в расход.
Проверка прикидкой. Подставь $x_{0} - 1$ и $x_{0} + 1 :$ оба значения обязаны быть хуже найденного. В примере 1: $S (29) = S (31) = 1348, 5$ против $1350 .$
Красивый ответ - признак верной модели. Вышло $34000$ - ищи ошибку в поверхности или в единицах.
На два балла нужны: переменная, связь, функция, ОДЗ, исследование со знаками, ответ с единицами. Без обоснования экстремума - ноль баллов, а не один.

Проверь себя0 из 3

1.Участок огораживают с трёх сторон (

60

м сетки), четвёртая - стена. Если

x

- сторона, перпендикулярная стене, чему равна площадь?

2.Открытый сверху бак с квадратным дном стороны

x

имеет объём

V .

Чему равна площадь его поверхности?

3.Какова наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами

12

9

(две стороны лежат на катетах)?